Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии , обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка

Для плоского треугольника со сторонами ${\displaystyle a,b,c}$ и углом ${\displaystyle \alpha }$ , противолежащим стороне ${\displaystyle a}$ , справедливо соотношение:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha .}$

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательства

Следствия

• Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника

  ${\displaystyle \cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$

В частности,

• Если ${\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}>0}$ , угол α — острый
• Если ${\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}=0}$ , угол α — прямой (если угол α прямой , то теорема косинусов становится теоремой Пифагора )
• Если ${\displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}<0}$ , угол α — тупой

• Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде :

${\displaystyle a^{2}=(b+c)^{2}-4\cdot b\cdot c\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)}$ ,

${\displaystyle a^{2}=(b-c)^{2}+4\cdot b\cdot c\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)}$ .

• Находя из двух последних формул в явном виде ${\displaystyle \cos(\alpha /2)}$ и ${\displaystyle \sin(\alpha /2)}$ , получим известные формулы геометрии :

  ${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-a)}{bc}}}}$ , ${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}}}$ , ${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}}}$ , где p — полупериметр .

• Наконец, используя правые части формул для ${\displaystyle \cos(\alpha /2)}$ и ${\displaystyle \sin(\alpha /2)}$ и известную формулу площади треугольника: ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha }$ , а также известную формулу синуса двойного угла ${\displaystyle \sin \alpha =2\sin(\alpha /2)\cos(\alpha /2)}$ после небольших преобразований получим известную формулу Герона для площади треугольника: ${\displaystyle S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$ , где p — полупериметр .

Для других углов

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

${\displaystyle c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$

${\displaystyle b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }$

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}$

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)}$

${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}$

История

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в предложениях 12 и 13 книги II «Начал» Евклида .

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника , применялись в сочинениях ал-Баттани . ^:105 Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан , назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения

• Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла .
• Тождество параллелограмма . Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея ):

  ${\displaystyle AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.}$

Для евклидовых нормированных пространств

Пусть в евклидовом пространстве ${\displaystyle E}$ задана норма , ассоциированная со скалярным произведением , то есть ${\displaystyle \left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ={\sqrt {({\vec {a}},{\vec {a}})}}}$ . Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема . ${\displaystyle \left\Vert {\vec {a}}-{\vec {b}}\right\Vert ^{2}=\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ^{2}+\left\Vert {\vec {b}}\right\Vert ^{2}-2({\vec {a}},{\vec {b}})}$

Для четырёхугольников

Возводя в квадрат тождество ${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CD}}}$ можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников :

${\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B-2ac\cos \omega -2bc\cos \angle C}$ , где ${\displaystyle \omega }$ — угол между прямыми AB и CD .

Или иначе:

${\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos \angle C}$

Формула справедлива и для тетраэдра, под ${\displaystyle w}$ подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.

С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle c}$ зная все ребра тетраэдра:

${\displaystyle \cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac}$

Где ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle d}$ , ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle f}$ пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике , косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами ${\displaystyle \alpha ,\gamma }$ и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

${\displaystyle e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )}$

• Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта .
• Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы

${\displaystyle S_{i}S_{j}\cos \angle A={\frac {(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1}((n-1)!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&\dots &d_{1(n+1)}^{2}\\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&\dots &d_{2(n+1)}^{2}\\1&d_{31}^{2}&d_{32}^{2}&0&\dots &d_{3(n+1)}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{(n+1)1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}}$

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится ${\displaystyle d_{ij}}$ или ${\displaystyle d_{ji}}$ .

${\displaystyle \angle A}$ — угол между гранями ${\displaystyle S_{i}}$ и ${\displaystyle S_{j}}$ , ${\displaystyle S_{i}}$ — грань, находящаяся против вершины i , а ${\displaystyle d_{ij}}$ — расстояние между вершинами i и j .

См. также

• Решение треугольников
• Скалярное произведение
• Соотношение Бретшнайдера
• Теорема косинусов для трёхгранного угла
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Сферическая теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции

Примечания

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М. : МЦНМО , 2004. — С. 84—85. — ISBN 5-94057-170-0 .