Interested Article - Теорема синусов

Теоре́ма си́нусов — теорема , устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов . Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов :

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

и расширенная теорема синусов :

Для произвольного треугольника

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,

где $a$ , $b$ , $c$ — стороны треугольника, $\alpha ,\beta ,\gamma$ — соответственно противолежащие им углы, а $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника.

Доказательства

Доказательство обычной теоремы синусов

Воспользуемся только определением высоты $h_{b}$ треугольника, опущенной на сторону b , и синуса для двух углов:

h_{b}=a\sin \gamma =c\sin \alpha

. Следовательно,

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

, что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов. ∎

Доказательство расширенной теоремы синусов

Доказательство

Достаточно доказать, что

{\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.

Проведем диаметр $|BG|$ для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол $GCB$ прямой, а угол $CGB$ равен либо $\alpha$ , если точки $A$ и $G$ лежат по одну сторону от прямой $BC$ , либо $\pi -\alpha$ в противном случае. Поскольку $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$ , в обоих случаях получаем

a=2R\sin \alpha

.

Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.

∎

Доказательство через формулы нахождения площади треугольника

Возьмем две формулы для нахождения площади треугольника $S={\frac {abc}{4R}}$ и $S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .$

${\begin{cases}{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ac\sin \beta \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\frac {c}{2R}}=\sin \gamma \\{\frac {b}{2R}}=\sin \beta \\{\frac {a}{2R}}=\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}2R={\frac {c}{\sin \gamma }}\\2R={\frac {b}{\sin \beta }}\\2R={\frac {a}{\sin \alpha }}\end{cases}}\Leftrightarrow 2R={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.$ ∎

Вариации и обобщения

В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

В симплексе

V_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {{V_{n-1}^{i}}{V_{n-1}^{j}}}{V_{n-2}^{i,j}}}\cdot \sin {A_{i,j}},

где $A_{i,j}$ — угол между гранями $V_{n-1}^{i}$ и $V_{n-1}^{j}$ ; $V_{n-2}^{i,j}$ — общая грань $V_{n-1}^{i}$ и $V_{n-1}^{j}$ ; $V_{n}$ — объём симплекса.

История

В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется .
Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке .
Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке . В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере .

Вариации и обобщения

Сферическая теорема синусов
На плоскости Лобачевского с кривизной $-1$ теорема синусов принимает следующую форму:

${\frac {\sin A}{\mathrm {sh} \,a}}={\frac {\sin B}{\mathrm {sh} \,b}}={\frac {\sin C}{\mathrm {sh} \,c}}.$

Примечания

Florian Cajori. A History of Mathematics (англ.) . — 5th edition. — 1991. — P. 47.
Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // (англ.) . — Princeton University Press , 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859 .
Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137. — Page 157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics , Springer , ISBN 1402002602
. Дата обращения: 24 августа 2011. 29 мая 2016 года.

[1] Florian Cajori. A History of Mathematics (англ.) . — 5th edition. — 1991. — P. 47.

[2] Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // (англ.) . — Princeton University Press , 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859 .

[Sesiano-3] Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137. — Page 157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics , Springer , ISBN 1402002602

[MacTutor_Al-Jayyani-4] . Дата обращения: 24 августа 2011. 29 мая 2016 года.

Треугольник
Виды треугольников	Прямоугольный Равнобедренный Равносторонний Равнобедренный прямоугольный
Замечательные линии в треугольнике	Медиана Высота Биссектриса Серединный перпендикуляр Средняя линия Описанная и вписанная окружности Прямая Симсона Прямая Эйлера Симедиана Чевиана
Замечательные точки треугольника	Ортоцентр Центроид Инцентр Точка Брокара Точка Вектена Точка Жергонна Точка Лемуана Точка Микеля Точка Нагеля Точки Наполеона Точки Торричелли Центр окружности девяти точек Центр Шпикера Энциклопедия центров треугольника
Основные теоремы	Неравенство треугольника Признаки подобия треугольников Решение треугольников Теорема о внешнем угле треугольника Теорема о сумме углов треугольника Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема о проекциях Формула Герона
Дополнительные теоремы	Теорема Ван-Обеля Теорема Менелая Теорема Ройшле (Теркема) Теорема Стюарта Теорема тангенсов Теорема котангенсов Теорема Чевы Формулы Мольвейде
Обобщения	Сферический треугольник Гиперболический треугольник Симплекс

Тригонометрия
Общее	История Функции Обратные Редко используемые Обобщённая тригонометрия
Справочник	Тождества Точные константы Таблицы Единичная окружность
Законы и теоремы	Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема тангенсов Теорема котангенсов Решение треугольников
Математический анализ	Тригонометрическая подстановка Интегралы ( обратные функции ) Производные

Ссылки на внешние ресурсы
Тематические сайты
Словари и энциклопедии

Доказательства

Доказательство обычной теоремы синусов

Доказательство расширенной теоремы синусов

Вариации и обобщения

История

Вариации и обобщения

Примечания

Теорема Стокса

Теорема Грина

Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Same as Теорема синусов

Сферическая теорема синусов

Сферическая теорема синусов

Теорема косинусов

Тромбоз синусов твёрдой мозговой оболочки

Теорема Вольстенхольма

Тромбоз синусов твёрдой мозговой оболочки

Теорема Стокса

Теорема Грина

Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Теорема

Основная теорема арифметики

Теорема Зейферта — ван Кампена

Теорема Байеса

Теорема о четырёх красках

Малая теорема Ферма

Теорема о проекциях

Теорема Чевы

Теорема Зеро

Теорема Гливенко — Кантелли

Теорема Бёма — Якопини

Теорема Пифагора

Поиск предназначения, или Двадцать седьмая теорема этики

Теорема о распределении простых чисел

Центральная предельная теорема

Теорема Пуассона

Локальная теорема Муавра — Лапласа

Теорема Гёделя

Теорема Лагранжа (теория групп)

Теорема Кэли (теория групп)

Теорема Пэли — Винера

Великая теорема Ферма

Теорема Паули

Теорема Эренфеста

Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках

Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности

Теорема о конце света

Теорема Менелая

Теорема о движении центра масс системы

Теорема Эрроу

Теорема Блоха

Теорема о причёсывании ежа

Теорема Люка

Основная теорема римановой геометрии

Теорема о девяти точках на кубической кривой

Теорема Кантора — Бернштейна

Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Теорема Ампера

Теорема Котельникова