Теорема котангенсов — тригонометрическая теорема, связывающая радиус вписанной окружности треугольника с длиной его сторон. Теорему котангенсов удобно использовать при решении треугольника по трём сторонам.

Формулировка

Пусть

${\displaystyle a,b,c}$ — длины трёх сторон треугольника,

${\displaystyle A,B,C}$ — углы, лежащие напротив, соответственно, сторон ${\displaystyle a,b,c}$ ,

${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности треугольника и

${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$ — полупериметр треугольника.

Тогда справедливы следующие формулы:

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {A}{2}}={\frac {p-a}{r}}}$ ,

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {B}{2}}={\frac {p-b}{r}}}$ ,

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}={\frac {p-c}{r}}}$ ,

или эквивалентно:

${\displaystyle {\frac {p-a}{\mathrm {ctg} (A/2)}}={\frac {p-b}{\mathrm {ctg} (B/2)}}={\frac {p-c}{\mathrm {ctg} (C/2)}}=r}$ .

Словами теорему можно сформулировать так: котангенс половинного угла равен отношению полупериметра минус длина противолежащей стороны указанного угла к радиусу вписанной окружности.

Обобщение

В сферической тригонометрии существует похожая формула для половины угла, а также двойственная к ней формула половины стороны .

Следствия

Из теоремы котангенсов может быть получено выражение для радиуса вписанной окружности ${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{p}}(p-a)(p-b)(p-c)}}}$ . Далее, так как площадь треугольника ${\displaystyle S=pr}$ , из теоремы котангенсов следует формула Герона .

См. также

• Теорема косинусов
• Теорема о проекциях
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

Примечания

См. также

• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции