Interested Article - Неравенство треугольника

Нера́венство треуго́льника в геометрии , функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон (или равносильная формулировка — длина наибольшей стороны меньше суммы длин двух других сторон).

Евклидова геометрия

Длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других.

Неравенство

выполняется в любом треугольнике . Причём равенство достигается только тогда, когда треугольник вырожден , и точка лежит строго между и .

Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

Нормированное пространство

Пусть нормированное векторное пространство , где — произвольное множество , а — определённая на норма . Тогда по определению последней справедливо:

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве , неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского .

Метрическое пространство

Пусть метрическое пространство , где — произвольное множество , а — определённая на метрика . Тогда по определению последней

Вариации и обобщения

Обратное неравенство треугольника

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

Неравенство треугольника для трёхгранного угла

Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Произвольное число точек

Обозначим расстояние между точками и . Тогда имеет место следующее неравенство: . Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек:

См. также

Примечания

  1. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 28
Источник —

Same as Неравенство треугольника