Сферическая геометрия — раздел геометрии , изучающий геометрические фигуры на поверхности сферы . Сферическая геометрия возникла в древности в связи с потребностями географии и астрономии .

Основные понятия

• Большой круг — это круг, который делит шар (сферу) на две равные половины. Центр большого круга всегда совпадает с центром сферы. На глобусе, к примеру, все меридианы являются большими кругами. А вот из параллелей только экватор является большим кругом. Все остальные параллели — это малые круги .

• Большие круги на поверхности сферы играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии . Кратчайший путь между любыми двумя точками пройдёт по линии большого круга.

• Через любые две точки на поверхности сферы, кроме диаметрально противоположных, можно провести единственный большой круг. Через диаметрально противоположные точки на сфере можно провести сколько угодно больших кругов.

• Любые два больших круга пересекаются по прямой, проходящей через центр сферы, а окружности больших кругов пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

• При пересечении двух больших кругов образуются четыре сферических двуугольника . Площадь двуугольника определяется формулой ${\displaystyle S=2R^{2}\alpha }$ , где ${\displaystyle R}$ — радиус сферы, а ${\displaystyle \alpha }$ — угол двуугольника в радианах.

• Три больших круга, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников . Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, называется эйлеровым. Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников имеет место ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны.

• Стороны сферического треугольника измеряют величиной угла, образованного радиусами сферы, проведёнными к концам данной стороны. Каждая сторона сферического треугольника меньше суммы и больше разности двух других. Сумма всех сторон сферического треугольника всегда меньше ${\displaystyle 2\pi }$ . Сумма углов сферического треугольника ${\displaystyle s=\alpha +\beta +\gamma }$ всегда меньше ${\displaystyle 3\pi }$ и больше ${\displaystyle \pi }$ . Величина ${\displaystyle s-\pi =\varepsilon }$ называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле Жирара ${\displaystyle S=R^{2}\varepsilon }$ .

Соотношения между элементами сферического треугольника изучает сферическая тригонометрия .

См. также

• Геометрия Римана
• Сферическая система координат
• Сферические функции

Литература

• Алексеевский Д. В. , Винберг Э. Б. , Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М. : ВИНИТИ , 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
• Берже М. Геометрия. / Пер. с франц., в 2 т. — М. : Мир , 1984. — Т. II, ч. V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — Л. - М. , 1948.
• Шафаревич И. Р. , Линейная алгебра и геометрия. — М. : Физматлит , 2009.
• Александров А. Д. , Геометрия. — М. : Наука , 1990.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М. : УРСС , 2007.