По теореме косинусов имеем ^:75-77 :

${\displaystyle \cos a={\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}.}$

Тогда по формуле двойного угла (положительный корень взят потому, что сторона меньше 180 градусов):

${\displaystyle \sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos a}{2}}}={\sqrt {\frac {\sin \beta \sin \gamma -\cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha }{2\sin \beta \sin \gamma }}}.}$

Применяя формулу сложения аргументов и формулу преобразования суммы функций, получаем:

${\displaystyle \sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {-\cos(\beta +\gamma )-\cos \alpha }{2\sin \beta \sin \gamma }}}={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-\alpha )}{\sin \beta \sin \gamma }}}.}$

Аналогично для косинуса половины стороны получаем:

${\displaystyle \cos {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos a}{2}}}={\sqrt {\frac {\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )}{\sin \beta \sin \gamma }}}.}$

Поэтому

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {a}{2}}={\frac {\sin {\frac {a}{2}}}{\cos {\frac {a}{2}}}}={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-\alpha )}{\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )}}}=\cos(S-\alpha ){\sqrt {\frac {-\cos S}{\cos(S-\alpha )\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )}}}.}$

Двойственную к этой формуле, то есть формулу для половины угла, можно получить из неё как обычно — заменой стороны на дополнение соответствующего угла до 180 градусов и углов на дополнения соответствующих сторон до 180 градусов.