Сферическая тригонометрия — раздел тригонометрии , в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон сферических треугольников . Применяется для решения различных геодезических и астрономических задач.

История

Основы сферической тригонометрии были заложены греческим математиком и астрономом Гиппархом во II веке до н. э. Важный вклад в её развитие внесли такие античные учёные, как Менелай Александрийский и Клавдий Птолемей . Сферическая тригонометрия древних греков опиралась на применение теоремы Менелая к полному четырёхстороннику на сфере. Древнегреческие математики излагали условие теоремы Менелая не на языке отношений синусов, а на языке отношений хорд . Для выполнения требуемых расчётов применялись таблицы хорд, аналогичные последующим таблицам синусов .

Как самостоятельная дисциплина сферическая тригонометрия сформировалась в работах средневековых математиков стран ислама. Наибольший вклад в её развитие в эту эпоху внесли такие учёные, как Сабит ибн Корра , Ибн Ирак , Кушьяр ибн Лаббан , Абу-л-Вафа , ал-Бируни , Джабир ибн Афлах , ал-Джайяни , Насир ад-Дин ат-Туси . В их работах были введены основные тригонометрические функции, сформулирована и доказана сферическая теорема синусов и ряд других теорем, применявшихся в астрономических и геодезических расчётах, ведено понятие полярного треугольника , позволявшее вычислять стороны сферического треугольника по трём его данным углам.

История сферической тригонометрии в Европе связана с трудами таких учёных, как Региомонтан , Николай Коперник , Франческо Мавролико .

Основные соотношения

Обозначим стороны сферического треугольника a , b , c , противолежащие этим сторонам углы — A , B , C . Сторона сферического треугольника равна углу между двумя лучами исходящими из центра сферы в соответствующие концы стороны треугольника. Для радианной меры угла:

${\displaystyle a={\frac {|uv|}{R}},}$ ${\displaystyle b={\frac {|uw|}{R}},}$ ${\displaystyle c={\frac {|vw|}{R}}}$

При использовании угла вместо длины дуги для измерения сторон сферического треугольника упрощаются формулы — в них тогда не входит радиус сферы. Так же поступают, например, в сферической астрономии , где радиус небесной сферы не имеет значения.

Теоремы для прямоугольного сферического треугольника

Пусть угол C — прямой. Тогда имеют место следующие соотношения:

${\displaystyle \operatorname {tg} b=\operatorname {tg} c\cos A,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} a=\sin b\operatorname {tg} A,}$

${\displaystyle \sin a=\sin c\sin A,}$

${\displaystyle \operatorname {cos} c=\operatorname {ctg} A\operatorname {ctg} B,}$

${\displaystyle \cos A=\cos a\sin B.}$

Теоремы для произвольного сферического треугольника

Сферические теоремы косинусов

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,}$

${\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.}$

Сферическая теорема синусов

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}},\sin ^{2}A>0,\sin ^{2}B>0,\sin ^{2}C>0.}$

Первая и вторая сферические теоремы косинусов двойственны по отношению друг к другу. Сферическая теорема синусов двойственна по отношению к самой себе.

Формула пяти элементов

${\displaystyle \sin a\cos C=\sin b\cos c-\cos b\sin c\cos A.}$

${\displaystyle \sin A\cos c=\sin B\cos C+\cos B\sin C\cos a,}$

Указанные две формулы так же двойственны друг к другу.

Применение

Знание формул сферической тригонометрии необходимо при решении таких задач, как, например, преобразование координат из одной системы небесных координат в другую, расчёт долготы планеты Солнечной системы , разметка солнечных часов и точное направление спутниковой антенны («тарелки») на нужный спутник для приёма каналов спутникового телевидения .

См. также

• Решение треугольников
• Сферическая геометрия
• Ортодромия

Литература

• Волынский Б. А. Сферическая тригонометрия. — М. : Наука, 1977. — 136 с.
• Кранц П. Сферическая тригонометрия. — М. : ЛКИ, 2019. — 104 с.
• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии. — Ташкент: Фан, 1990. — 160 с.
• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье.. — М. : URSS, 2020. — 160 с.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М. — Л. : ОГИЗ Гостехиздат, 1948. — 154 с.
• Янишевский С. Сферическая тригонометрия: лекции. — Казань: Университетская типография, 1859. — 97 с.

Ссылки

• Сферическая тригонометрия — статья из Большой советской энциклопедии .
• на сайте MathWorld