Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника ) — точка пересечения медиан в треугольнике .

Центроид традиционно обозначается латинской буквой ${\displaystyle M}$ . Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга , как точка X(2).

Свойства

• Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера ).
• Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс ( барицентр ) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой внутри массой также находится в центроиде.
• Если ${\displaystyle M}$ — центроид треугольника ${\displaystyle ABC}$ то для любой точки ${\displaystyle O}$ верно равенство

  ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}={\frac {1}{3}}({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}})}$ .

• Центроид является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника принимает наименьшее значение ( теорема Лейбница ).
• Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
• Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырёхугольника (равной площади).
• При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).
• Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли , отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в центроиде треугольника.
• Пусть ${\displaystyle ABC}$ — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника ${\displaystyle ABC}$ , называется окружностью Парри треугольника ${\displaystyle ABC}$ .
• Три чевианы , проведённые через произвольную точку ${\displaystyle O}$ внутри треугольника, делят своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. Произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально, если точка ${\displaystyle O}$ совпадает с центроидом .
• Сумма квадратов сторон треугольника равна утроенной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:

${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})}$ .

• Пусть ${\displaystyle q_{a}}$ , ${\displaystyle q_{b}}$ и ${\displaystyle q_{c}}$ — расстояния от центроида до сторон с длинами, соответственно равными ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ . Тогда ^:173

${\displaystyle {\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}}$

и

${\displaystyle q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}S}$ ,

где ${\displaystyle S}$ — площадь треугольника.

История

Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом .

Вариации и обобщения. Центроиды в четырёхугольнике

• Центроид ( барицентр или центр масс ) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.

Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины

• Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центроиды этих четырёх треугольников лежат на одной окружности .
• У выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, «центроид площади» или центр масс его площади G _a , вершинный центроид или центр масс четырёх его вершин G _v и точка пересечения его диагоналей P коллинеарны. Расстояния между этими точками удовлетворяют формуле

${\displaystyle PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.}$

См. также

• Барицентр
• Центр тяжести
• Центр масс
• Ортоцентр
• Инцентр
• Замечательные точки треугольника
• Геометрия треугольника

Примечания

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М. : МЦНМО , 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0 .
• Дм. Ефремов. 1902 год
• Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М: Учпедгиз, 1962. 153 с.
• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble , LCCN