Interested Article - Точка Жергонна

Точка Жергонна — точка пересечения отрезков , соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон вписанной окружности .

Обычно обозначается $Ge$ , $G$ , $J$ или $K$ .

Свойства

Точка Жергонна является точкой Лемуана треугольника, образованного точками касания сторон треугольника со вписанной окружностью.
Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля .
Точка Жергонна изогонально сопряжена с центром отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности .
Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра вписанной окружности равен

$L^{2}=r^{2}-{\frac {3p^{2}r^{2}}{(4R+r)^{2}}}$

Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра описанной окружности равен

$L^{2}=R^{2}-{\frac {4p^{2}r(R+r)}{(4R+r)^{2}}}$

Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга с выколотым центром.
Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.

Треугольник Жергонна

Треугольник Жергонна для основного треугольника ABC определяется тремя точками касания вписанной окружности трёх его сторон. Эти вершины обозначим T _A , T _B и T _C . Точка T _A лежит напротив вершины A . Этот треугольник Жергонна T _A T _B T _C известен также как треугольник касаний треугольника ABC .

Свойства

Три прямые AT _A , BT _B и CT _C пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7) .
Точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна .
Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
Треугольник Жергонна (для треугольника ABC ) является подерным треугольником для инцентра в треугольнике ABC .

См. также

История

Точка Жергонна была открыта Жозефом Диасом Жергонном (Joseph Diaz Gergonne, 19.06.1771 – 4.05.1859) в начале XIX века .

Примечания

Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6 . — С. 57-70. .
Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1 . — С. 1–14. . 5 ноября 2010 года.