Теорема Микеля — утверждение в планиметрии, связанное с пересечением трёх окружностей, построенных вокруг вершин треугольника. Названа в честь французского математика . Эта теорема — один из нескольких результатов, касающийся окружностей в геометрии , полученный Микеле и опубликованных им в Journal de mathématiques pures et appliquées .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle ABC}$ — треугольник с произвольными точками ${\displaystyle A'}$ , ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ соответственно на сторонах ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ (или на их продолжениях). Опишем три окружности около треугольников ${\displaystyle AB'C'}$ , ${\displaystyle A'BC'}$ , и ${\displaystyle A'B'C.}$ Теорема Микеля утверждает, что эти три окружности пересекутся в одной точке ${\displaystyle M}$ , называемой точкой Микеля . Более того, будут равны друг другу три угла ${\displaystyle \angle MA'B,\angle MB'C,\angle MC'A}$ (отмечены на рисунке).

Частный случай

Если точка Микеля — центр описанной окружности треугольника, а диаметры трех окружностей Микеля равны радиусу описанной окружности треугольника, и каждая из трех окружностей Микеля проходит через общую для них точку — центр описанной окружности, а также через две проекции этого центра на стороны треугольника и через одну из трех вершин, тогда радиусы трех окружностей Микеля одинаковы.

См. также

• Точка Микеля — другой результат Микеля

Примечания

Литература

• Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited , , vol. 19, Washington, D.C. : Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-619-2 , Zbl
• Forder, H.G. (1960), Geometry , London: Hutchinson
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
• Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course , Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
• Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6 , Zbl