Центр Шпикера — замечательная точка треугольника , определяемая как центр масс периметра треугольника; то есть центр тяжести однородной проволоки, проходящей по периметру треугольника .

Точка названа в честь немецкого геометра XIX века . В Энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга указана как X(10) .

Свойства

• Центр Шпикера является инцентром серединного треугольника . То есть центр Шпикера ${\displaystyle \triangle ABC}$ является центром окружности, вписанной в серединный треугольник ${\displaystyle \triangle ABC}$ (в его дополнительный треугольник ) . Эта окружность известна как .

• Центр Шпикера является центром кливеров треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ . То есть все три кливера треугольника пересекаются в одной точке — в центре Шпикера ${\displaystyle S}$ . ( Кливер треугольника — это отрезок, один конец которого находится в середине одной из сторон треугольника, второй конец находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.)

• Центр Шпикера, инцентр ( ${\displaystyle I}$ ), центроид ( ${\displaystyle G}$ ) и точка Нагеля ( ${\displaystyle M}$ ) треугольника лежат на одной прямой — на второй прямой Эйлера (прямой Эйлера — Нагеля) . Более того ,

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}IS=SM;\\IG=2GS;\\MG=2IG.\end{matrix}}\right.}$

• Центр Шпикера лежит на гиперболе Киперта треугольника.

• Центр Шпикера ${\displaystyle \triangle ABC}$ является точкой пересечений прямых ${\displaystyle AX}$ , ${\displaystyle BY}$ и ${\displaystyle CZ}$ , где ${\displaystyle \triangle XBC}$ , ${\displaystyle \triangle YCA}$ и ${\displaystyle \triangle ZAB}$ — подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ снаружи, имеющие один и тот же угол у основания ${\displaystyle \mathrm {arctg} \,\left(\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {C}{2}}\right)}$ .
  • Это свойство выполняется не только для центра Шпикера. Например, первая точка Наполеона ${\displaystyle N_{1}}$ , как и центр Шпикера, является точкой пересечений прямых ${\displaystyle AX}$ , ${\displaystyle BY}$ и ${\displaystyle CZ}$ , где ${\displaystyle \triangle XBC}$ , ${\displaystyle \triangle YCA}$ и ${\displaystyle \triangle ZAB}$ — подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ снаружи, имеющие один и тот же угол у основания ${\displaystyle 30^{\circ }}$ .

• Центр Шпикера является радикальным центром трёх вневписанных окружностей .
• трилинейные координаты точки ${\displaystyle S}$ : ${\displaystyle (bc(b+c),\;ca(c+a),\;ab(a+b))}$ .

• Барицентрические координаты центра Шпикера :

  ${\displaystyle (b+c,c+a,a+b)}$ .

Примечания

Литература

• Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 .
• Theodor Spieker. Lehrbuch der ebenen Geometrie. — Potsdam, Germany, 1888.
• Ross Honsberger. . — Mathematical Association of America , 1995.