Interested Article - Теорема Менелая

Теоре́ма Менела́я , или теорема о трансверсалях , или теорема о полном четырёхстороннике , — классическая теорема аффинной геометрии .

Формулировка

Если точки $A',B'$ и $C'$ лежат соответственно на сторонах $BC,CA$ и $AB$ треугольника $\triangle ABC$ или на их продолжениях , то они коллинеарны тогда и только тогда, когда

{\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.

где ${\frac {AB'}{B'C}}$ , ${\frac {CA'}{A'B}}$ и ${\frac {BC'}{C'A}}$ обозначают отношения направленных отрезков .

Доказательство

Проведем через точку $C$ прямую, параллельную прямой $AB$ , и обозначим через $K$ точку пересечения этой прямой с прямой $A'C'$ . Поскольку треугольники $\triangle AC'B'$ и $\triangle CKB'$ подобны (по двум углам), то

{\frac {|AC'|}{|CK|}}={\frac {|B'A|}{|B'C|}}

.

Так как подобными являются также треугольники $\triangle BC'A'$ и $\triangle CKA'$ , тем самым

{\frac {|CK|}{|C'B|}}={\frac {|A'C|}{|BA'|}}

.

Исключая $CK$ , получаем

{\frac {|AC'|}{|C'B|}}\cdot {\frac {|BA'|}{|A'C|}}\cdot {\frac {|CB'|}{|B'A|}}=1

.

Возможны два расположения точек $A',B'$ и $C'$ : либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем

{\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.

Замечания

В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:

${\frac {|AB'|}{|B'C|}}\cdot {\frac {|CA'|}{|A'B|}}\cdot {\frac {|BC'|}{|C'A|}}=1.$

Вариации и обобщения

Тригонометрический эквивалент:

{\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}=-1

, где все углы — .

В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид

{\frac {\sin |AB'|}{\sin |B'C|}}\cdot {\frac {\sin |CA'|}{\sin |A'B|}}\cdot {\frac {\sin |BC'|}{\sin |C'A|}}=1.

В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид

{\frac {\operatorname {sh} |AB'|}{\operatorname {sh} |B'C|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh} |CA'|}{\operatorname {sh} |A'B|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh} |BC'|}{\operatorname {sh} |C'A|}}=1.

История

Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра , ан-Насави , ал-Магриби , ас-Сиджизи , ас-Салар , Джабир ибн Афлах , Насир ад-Дин ат-Туси .

Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.

Применения

Теорема Сальмона
Многие теоремы проективной геометрии , например, теорема Паппа и теорема Дезарга , доказываются многократным применением теоремы Менелая.

См. также

Примечания

на самих сторонах может лежать ровно две или ни одной точки
G. Ceva, Milan, 1678

Ссылки

Балк М. Б. , Болтянский В. Г. Геометрия масс. — М. : Наука , 1987. —( Библиотечка «Квант» )).
Ефремов Д. . — Одесса, 1902. — 334 с. от 2 марта 2005 на Wayback Machine
Ефремов Д. . — Москва: Ленанд", 2015. — 352 с. — ISBN 978-5-9710-2186-5 .
Коксетер Г. С. М. , Грейтцер С. П. . — М. : Наука , 1978. — Т. 14. — ( Библиотека математического кружка ).
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М. : МЦНМО , 2004. — С. 73-74. — ISBN 5-94057-170-0 .
Шаль, Мишель . // . — М. , 1883. — Т. 2 .
Sidoli N. // SCIAMVS. — 2006. — № 7 . — С. 43–79 .