Теорема Чевы — классическая теорема аффинной геометрии и геометрии треугольника . Установлена в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой .

Формулировка

Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.

Три чевианы ${\displaystyle AA',BB',CC'}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ проходят через одну точку тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle {\frac {BA'\cdot CB'\cdot AC'}{A'C\cdot B'A\cdot C'B}}=1}$

Замечания

Эта теорема является аффинной , то есть она может быть сформулирована с использованием только тех свойств, которые сохраняются при аффинных преобразованиях .

Вариации и обобщения

• Эту теорему можно обобщить на случай, когда точки ${\displaystyle A',B',C'}$ лежат на продолжениях сторон ${\displaystyle BC,CA,AB}$ . Для этого надо воспользоваться « отношением направленных отрезков ». Оно определено для двух коллинеарных направленных отрезков ${\displaystyle XY}$ и ${\displaystyle ZT}$ и обозначается ${\displaystyle {XY}/{ZT}}$
  • Пусть ${\displaystyle A',B',C'}$ лежат на прямых ${\displaystyle BC,CA,AB}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ . Прямые ${\displaystyle AA',BB',CC'}$ конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда: ${\displaystyle {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}\cdot {\frac {AC'}{C'B}}=1}$

• Теорема Понселе . Исходную теорему Чевы можно обобщить на случай многоугольника с нечетным числом сторон. Тогда её называют теоремой Понселе . Она звучит так: прямые, соединяющие какую-нибудь точку с вершинами многоугольника, имеющего нечётное число сторон, образуют на противоположных его сторонах такие отрезки, что произведение отрезков, не имеющих общих концов, равно произведению остальных отрезков (см. п. 23, с 35. в )
• Тригонометрическая теорема Чевы:

  ${\displaystyle {\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}=1.}$

При этом углы здесь считаются ; то есть ${\displaystyle \angle XYZ}$ есть угол, на который надо повернуть прямую ${\displaystyle XY}$ против часовой стрелки, чтоб получить прямую ${\displaystyle YZ}$ .

О доказательствах

Известны доказательства

• методом площадей ,
• с помощью геометрии масс,
• двойное применение теоремы Менелая и многие другие.

Сам Чева привёл доказательство с помощью геометрии масс, но существует также и другие доказательства.

См. также

• Двойное отношение
• Отношение направленных отрезков
• Пропорциональные отрезки
• Теорема Ван-Обеля о треугольнике
• Теорема Менелая
• Чевиана

Литература

• Балк М. Б. , Болтянский В. Г. Геометрия масс. — М. : Наука , 1987. —( Библиотечка «Квант» )).
• Коксетер Г. С. М. , Грейтцер С. П. . — М. : Наука , 1978. — Т. 14. — ( Библиотека математического кружка ).
• Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „ Математическое просвещение “». М.: МЦНМО , 2002.
• Филипповский Г. Б. Теоремы Чевы, Менелая и Ван-Обеля// Математика. Все для учителя! № 9 (21). сентябрь. 2012. с. 7-19//
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М. : МЦНМО , 2004. — С. 66—68. — ISBN 5-94057-170-0 .
• Шаль, Мишель . // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. М., 1883.
• Giovanni Ceva . Milan, 1678

Примечания