Если с ростом ${\displaystyle n}$ предел члена ряда ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ не существует или не равен нулю, то ряд расходится .

Знакоположительный ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ сходится тогда и только тогда , когда последовательность его частичных сумм ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ ограничена сверху .

Пусть даны два знакоположительных ряда: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ и ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ . Если, начиная с некоторого номера ( ${\displaystyle n>N}$ ), выполняется неравенство: ${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}}$ , то :

• из сходимости ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ следует сходимость ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ;
• из расходимости ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ следует расходимость и ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ .

Если ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ абсолютно сходится и начиная с некоторого номера все ${\displaystyle |a_{n}|\leqslant |b_{n}|}$ , то и ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится абсолютно.

Если для ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ существует предел:

${\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right),}$

то при ${\displaystyle R>1}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle R<1}$ — расходится. Если ${\displaystyle R=1}$ , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда .

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ определена при ${\displaystyle x\geqslant 1}$ , неотрицательна, монотонно убывает и ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ .

Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ и несобственный интеграл:

${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int \limits _{1}^{t}f(x)\,dx}$

сходятся или расходятся одновременно .

Пусть для знакоположительного ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ отношение ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}$ может быть представлено в виде:

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}},}$

где ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ — постоянные, а последовательность ${\displaystyle \{\theta _{n}\}}$ ограничена. Тогда :

• ряд сходится, если либо ${\displaystyle \lambda >1,}$ либо ${\displaystyle \lambda =1,\mu >1;}$
• ряд расходится, если либо ${\displaystyle \lambda <1,}$ либо ${\displaystyle \lambda =1,\mu \leqslant 1.}$

Пусть даны знакоположительный ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ и последовательность положительных чисел ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ такая, что ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}}$ расходится.

Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство:

${\displaystyle K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\geqslant \delta ,}$

где ${\displaystyle \delta }$ .— положительная постоянная, то ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится.

Если же, начиная с некоторого номера, ${\displaystyle K_{n}\leqslant 0,}$ то ряд расходится.

Если для ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ существует предел:

${\displaystyle B=\lim _{n\to \infty }\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right),}$

то при ${\displaystyle B>1}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle B<1}$ — расходится. Если ${\displaystyle B=1}$ , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда .

Если существует ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r,}$ то:

• если ${\displaystyle r<1,}$ то ряд абсолютно сходится ;
• если ${\displaystyle r>1,}$ то ряд расходится;
• если ${\displaystyle r=1}$ , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда.

Если существует ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=r,}$ то:

• если ${\displaystyle r<1,}$ то ряд сходится, причём абсолютно ;
• если ${\displaystyle r>1,}$ то ряд расходится;
• если ${\displaystyle r=1}$ , то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда .

Пусть для знакочередующегося ряда :

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}}$ , где ${\displaystyle a_{n}\geqslant 0}$ ,

выполняются следующие условия:

• последовательность ${\displaystyle \{a_{n}\},}$ начиная с некоторого номера ( ${\displaystyle n>N}$ ) монотонно убывает: ${\displaystyle a_{n+1}\leqslant a_{n}}$ ;
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}$

Тогда такой ряд сходится .

Числовой ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}{b_{n}}}$ сходится, если выполнены следующие условия :

• Последовательность ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ монотонна и ограничена.
• Ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{b_{n}}}$ сходится.

Пусть выполнены условия:

• последовательность частичных сумм ${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$ ограничена;
• последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ , начиная с некоторого номера, монотонно убывает: ${\displaystyle a_{n}\geqslant a_{n+1}}$ ;
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ .

Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ сходится.