Рассмотрим две последовательности частичных сумм ряда ${\displaystyle R_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots -b_{2n}}$ и ${\displaystyle L_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots +b_{2n+1}}$ .

Первая последовательность не убывает: ${\displaystyle R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+1}\leq 0}$ по первому условию.

По тому же условию вторая последовательность не возрастает: ${\displaystyle L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+3}\geq 0}$ .

Вторая последовательность мажорирует первую, то есть ${\displaystyle L_{n}\geq R_{m}}$ для любых ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ . Действительно,

при ${\displaystyle m\geq n}$ имеем: ${\displaystyle L_{n}-R_{m}\geq L_{m}-R_{m}=b_{2m+1}>0,}$

при ${\displaystyle m\leq n}$ имеем: ${\displaystyle L_{n}-R_{m}\geq L_{n}-R_{n}=b_{2n+1}>0.}$

Следовательно они обе сходятся как монотонные ограниченные последовательности.

Осталось заметить, что: ${\displaystyle \lim _{m,n}|R_{n}-L_{m}|=0}$ , поэтому они сходятся к общему пределу ${\displaystyle S}$ , который и является суммой исходного ряда.

Попутно мы показали, что для любой частичной суммы ряда ${\displaystyle S_{n}}$ имеет место оценка ${\displaystyle |S-S_{n}|<b_{n+1}}$ .

Последовательность ${\displaystyle S_{2k}}$ монотонно возрастающая, так как ${\displaystyle S_{2k}=\sum \limits _{i=2}^{i=n}{\left({b_{2i-1}-b_{2i}}\right)},}$ а выражение ${\displaystyle b_{2i-1}-b_{2i}}$ неотрицательно при любом целом ${\displaystyle i.}$ Последовательность ${\displaystyle S_{2k-1}}$ монотонно убывает, так как ${\displaystyle S_{2k+1}=S_{2k-1}-\left({b_{2k}-b_{2k+1}}\right),}$ а выражение в скобках неотрицательно. Как уже доказано при доказательстве самой теоремы Лейбница, у обеих этих последовательностей — ${\displaystyle S_{2k}}$ и ${\displaystyle S_{2k-1}}$ — совпадающий предел при ${\displaystyle k\to +\infty .}$ Так получено ${\displaystyle S_{2k}\leqslant s\leqslant S_{2k-1}}$ и также ${\displaystyle s\leqslant S_{2k+1}.}$ Отсюда ${\displaystyle 0\leqslant s-S_{2k}\leqslant S_{2k+1}-S_{2k}=b_{2k+1}}$ и ${\displaystyle 0\leqslant S_{2k-1}-s\leqslant S_{2k-1}-S_{2k}=b_{2k}.}$ Итак, для любого ${\displaystyle k}$ выполняется ${\displaystyle \left|{s-S_{k}}\right|\leqslant b_{k+1},}$ что и требовалось доказать.