Interested Article - Абсолютная величина

График вещественной функции
Модуль и другие характеристики комплексного числа

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа математике ) — неотрицательное число , которое, неформально говоря , обозначает расстояние между началом координат и . Обозначается:

В случае вещественного абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция , определённая следующим образом:

Обобщением этого понятия является модуль , или абсолютная величина , комплексного числа Это число определяется по формуле:

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой — например, в определении предела по Коши или медианы .

Вещественные числа

Комплексные числа

Алгебраические свойства

Для любых вещественных чисел имеют место следующие соотношения:

  • ( sgn — функция знака);
  • квадрат модуля числа равен квадрату этого числа:

Как для вещественных, так и для комплексных имеют место соотношения:

  • модуль любого числа равен либо больше нуля: , причём тогда и только тогда, когда
  • модули противоположных чисел равны:
  • модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей:
    • в частности, постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля:
  • модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел:
  • ( неравенство треугольника );
  • если существует.

История

Считают, что термин предложил использовать Котс , ученик Ньютона . Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом . Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (а именно с помощью сравнений и присваиваний ), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования . Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа . В программе Wolfram Mathematica: Abs[x].

Обобщение

Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле , и свойства её будут аналогичны приведённым выше.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства , обозначаемую . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также

Примечания

  1. . — М. : Советская Энциклопедия , 1982. — Т. 1. 13 ноября 2013 года.
  2. .
Источник —

Same as Абсолютная величина