Теорема Римана об условно сходящихся рядах — теорема в математическом анализе , которая утверждает, что, переставляя члены произвольного условно сходящегося ряда , можно получить произвольное значение. Этот факт показывает разницу между условной сходимостью и абсолютной сходимостью : если ряд сходится абсолютно, то он будет сходиться к одному и тому же значению вне зависимости от перестановки его элементов (см. Теорема о перестановке ряда ).

Формулировка

Пусть дан числовой ряд , который сходится условно , тогда для произвольного числа можно так поменять порядок элементов ряда, что сумма нового ряда станет равна этому числу. Более того, можно так переставить элементы ряда, чтобы сумма ряда стремилась к ${\displaystyle +\infty }$ или к ${\displaystyle -\infty }$ или же вовсе не стремилась ни к какому пределу, конечному или бесконечному.

Доказательство

Составим ряд из положительных элементов ряда ${\displaystyle A}$ и обозначим его ${\displaystyle P}$ , а элементы ряда ${\displaystyle P}$ обозначим ${\displaystyle P_{i}(i=1,...,\infty )}$ . Соответственно, ряд из модулей отрицательных элементов ${\displaystyle A}$ обозначим ${\displaystyle Q}$ . Следовательно, ряд ${\displaystyle A}$ можно представить как ${\displaystyle A=P-Q}$ . Исходя из свойств условно сходящихся рядов , ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — расходятся, а исходя из свойств остатка ряда , все остатки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — расходятся ${\displaystyle \Rightarrow }$ в каждом из этих рядов, начиная с любого места, можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число. Пользуясь этим, произведём перестановку членов ряда ${\displaystyle A}$ . Сначала возьмём столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла ${\displaystyle S}$ : ${\displaystyle p_{1}+p_{2}+...+p_{k}>S}$ . За ними запишем столько отрицательных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше ${\displaystyle S}$ : ${\displaystyle p_{1}+p_{2}+...+p_{k}-q_{1}-q_{2}-...-q_{m}<S}$ . Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда ${\displaystyle A}$ встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ , набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и ${\displaystyle S}$ по модулю не превзойдет последнего написанного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }p_{k}=0}$ и ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }q_{m}=0}$ , то новый ряд сходится к ${\displaystyle S}$ . ■