Interested Article - Ассоциативность (математика)

Визуализация ассоциативности

Ассоциати́вность ( сочетательность ) — свойство бинарной операции , заключающееся в возможности осуществлять последовательное применение формулы в произвольном порядке к элементам .

Термин ввёл Уильям Гамильтон в 1853 году .

Поскольку для ассоциативных операций результат выражения не зависит от порядка применения, скобки при записи опускаются. Для неассоциативной операции выражение при не определено без дополнительных соглашений о порядке применения.

Примеры ассоциативных операций:

Примером неассоциативной операции является возведение в степень — результат выражения напрямую зависит от расстановки скобок, в общем случае .

Не всякая коммутативная операция ассоциативна — существуют с неассоциативной.

Ассоциативность играет важную роль в общей алгебре : в большинстве рассматриваемых структур бинарные операции ассоциативны ( группы , кольца , поля , полурешётки и решётки ). Теория полугрупп фактически исследует феномен ассоциативности общеалгебраическими методами. При этом особо рассматриваются и неассоциативные системы, а именно: квазигруппы , лупы , неассоциативные кольца , . Их изучение осложнено тем, что многие свойства ассоциативных систем для них не имеют места. Иногда проблемы переносимости свойств на неассоциативные структуры оказываются нетрививиальными (например, открыт вопрос о выполнении теоремы Лагранжа для конечных луп).

В информатике ассоциативность считается полезным свойством, в частности, позволяющим задействовать параллелизм для последовательных применений операции. В то же время многие практические операции (сложение и умножение при работе с числами с плавающей запятой ) оказываются неассоциативными.

Свойство естественным образом обобщается на -арный случай: операция называется ассоциативной, если для всех имеет место тождество:

.

Ослабленные варианты свойства ассоциативности — степенная ассоциативность , альтернативность , — в них изменение очерёдности последовательного применения возможно только для ограниченного набора случаев.

Литература

  • Ассоциативность — статья из Математической энциклопедии . О. А. Иванова, Д. М. Смирнов
  • Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. ISBN 5-9221-0400-4 .
Источник —

Same as Ассоциативность (математика)