Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к
натуральному логарифму
(красный). В данном случае - это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.
Функциональный ряд
—
ряд
, каждым членом которого, в отличие от
числового ряда
, является не
число
, а
функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
.
Функциональная последовательность
Пусть задана
последовательность
комплекснозначных функций
на множестве
E
{\displaystyle \ E}
, включённом в d-мерное
евклидово пространство
R
d
{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{d}}
.
u
k
(
x
)
:
E
↦
C
,
E
⊆
R
d
,
k
∈
N
{\displaystyle \ {u_{k}}(x):E\mapsto \mathbb {C} ,~~E\subseteq \mathbb {R} ^{d},~~k\in \mathbb {N} }
Функциональная последовательность
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
сходится поточечно
к функции
u
(
x
)
{\displaystyle \ {u}(x)}
, если
∀
x
∈
E
∃
lim
k
→
∞
u
k
(
x
)
=
u
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in E\;\;\;\exists \lim _{k\rightarrow \infty }\ {u_{k}}(x)=\ {u}(x)}
.
Существует функция
u
(
x
)
:
E
↦
C
{\displaystyle \ u(x):E\mapsto \mathbb {C} }
такая, что:
sup
∣
u
k
(
x
)
−
u
(
x
)
∣
⟶
k
→
∞
0
,
x
∈
E
{\displaystyle \ \sup \mid {u_{k}}(x)-u(x)\mid {\stackrel {k\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,~~x\in E}
Факт равномерной сходимости последовательности
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
к функции
u
(
x
)
{\displaystyle \ u(x)}
записывается:
u
k
(
x
)
⇉
u
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)}
Функциональный ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
S
n
(
x
)
=
∑
k
=
1
n
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {S_{n}}(x)=\sum _{k=1}^{n}{u_{k}}(x)}
— n-ная
частичная сумма
.
Сходимость
В
математике
сходимость означает существование конечного
предела
у
числовой последовательности
, суммы
бесконечного ряда
, значения у
несобственного интеграла
, значения у
бесконечного произведения
.
Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность
S
n
(
x
)
{\displaystyle \ {S_{n}}(x)}
его частичных сумм сходится поточечно.
Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность
S
n
(
x
)
{\displaystyle \ {S_{n}}(x)}
его частичных сумм сходится равномерно.
Необходимое условие равномерной сходимости ряда
u
k
(
x
)
⇉
0
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows 0}
при
k
→
∞
{\displaystyle \ k\rightarrow \infty }
Или, что
эквивалентно
∀
ε
>
0
∃
n
0
(
ε
)
∈
N
:
∀
x
∈
X
,
∀
n
>
n
0
|
u
n
(
x
)
|
<
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\,\exists n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} :\forall x\in X,\forall n>n_{0}\,\,\,|{u_{n}}(x)|<\varepsilon }
, где Х - область сходимости.
Критерий Коши равномерной сходимости
Критерий Коши
для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций
{
f
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}
, определённых на множестве
V
{\displaystyle V}
, равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
, начиная с некоторого номера
N
=
N
(
ε
)
{\displaystyle N=N(\varepsilon )}
, при всех
n
,
m
{\displaystyle n,m}
, больше либо равных
N
{\displaystyle N}
, одновременно для всех
x
∈
V
{\displaystyle x\in V}
значения функций
f
n
(
x
)
{\displaystyle f_{n}(x)}
и
f
m
(
x
)
{\displaystyle f_{m}(x)}
различались не более, чем на
ε
{\displaystyle \varepsilon }
.
∀
ε
>
0
∃
N
=
N
(
ε
)
∀
n
,
m
≥
N
∀
x
∈
V
|
f
n
(
x
)
−
f
m
(
x
)
|
<
ε
{\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N=N(\varepsilon )\;\forall n,m\geq N\;\forall x\in V\;\left|{f_{n}}(x)-\ {f_{m}}(x)\right|<\varepsilon }
Абсолютная
и условная сходимость
Ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
называется абсолютно сходящимся, если
∑
k
=
1
∞
∣
u
k
(
x
)
∣
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\mid {u_{k}}(x)\mid }
сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
Если ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
сходится, а
∑
k
=
1
∞
∣
u
k
(
x
)
∣
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\mid {u_{k}}(x)\mid }
расходится, то ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
называется сходящимся условно. Для таких рядов верна
теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда
.
Признаки равномерной сходимости
Ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:
Ряд
∑
k
=
1
∞
v
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{v_{k}}(x)}
сходится равномерно.
∣
u
k
(
x
)
∣
<
v
k
(
x
)
,
∀
x
∈
E
,
∀
k
∈
N
{\displaystyle \ \mid {u_{k}}(x)\mid <{v_{k}}(x),~\forall x\in E,~\forall k\in \mathbb {N} }
Частным случаем является
признак Вейерштрасса
, когда
v
k
(
x
)
=
a
k
{\displaystyle \ {v_{k}}(x)=a_{k}}
. Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость.
Ряд
∑
k
=
1
∞
a
k
(
x
)
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}}
сходится равномерно, если выполнены следующие условия:
Последовательность действительнозначных функций
a
k
(
x
)
{\displaystyle \ {a_{k}}(x)}
монотонна
∀
x
∈
E
{\displaystyle \ \forall x\in E}
и
a
k
(
x
)
⇉
0
{\displaystyle \ {a_{k}}(x)\rightrightarrows 0}
Частичные суммы
S
n
(
x
)
=
∑
k
=
1
n
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {S_{n}}(x)=\sum _{k=1}^{n}{u_{k}}(x)}
равномерно ограничены
.
Ряд
∑
k
=
1
∞
a
k
(
x
)
u
k
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}}
сходится равномерно, если выполнены следующие условия:
Последовательность действительнозначных функций
a
k
(
x
)
{\displaystyle \ {a_{k}}(x)}
равномерно ограничена
и монотонна
∀
x
∈
E
{\displaystyle \ \forall x\in E}
.
Ряд
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)}
равномерно сходится.
Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
Теоремы о непрерывности
Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве
E
{\displaystyle \ E}
Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.
Последовательность
u
k
(
x
)
⇉
u
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)}
∀
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
непрерывна в точке
x
0
{\displaystyle \ x_{0}}
Тогда
u
(
x
)
{\displaystyle \ u(x)}
непрерывна в
x
0
{\displaystyle \ x_{0}}
.
Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.
Ряд
∑
k
=
0
∞
u
k
(
x
)
⇉
S
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=0}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)}
∀
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
непрерывна в точке
x
0
{\displaystyle \ x_{0}}
Тогда
S
(
x
)
{\displaystyle \ S(x)}
непрерывна в
x
0
{\displaystyle \ x_{0}}
.
Теоремы об интегрировании
Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.
Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.
∀
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
непрерывна на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
u
k
(
x
)
⇉
u
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)}
на
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Тогда числовая последовательность
{
∫
a
b
u
k
(
x
)
d
x
}
{\displaystyle \left\{{\int \limits _{a}^{b}{{u_{k}}(x)dx}}\right\}}
сходится к конечному пределу
∫
a
b
u
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{u(x)dx}}
.
Теорема о почленном интегрировании.
∀
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
непрерывна на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
⇉
S
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)}
на
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Тогда числовой ряд
∑
k
=
1
∞
∫
a
b
u
k
(
x
)
d
x
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{u_{k}}(x)dx}
сходится и равен
∫
a
b
S
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}S(x)dx}
.
Теоремы о дифференцировании
Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.
Теорема о дифференцировании под пределом.
∀
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
дифференцируема (имеет непрерывную производную) на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
∃
c
∈
[
a
,
b
]
:
u
k
(
c
)
{\displaystyle \ \exists c\in [a,b]:~u_{k}(c)}
сходится (к конечному пределу)
u
k
′
(
x
)
⇉
ω
(
x
)
{\displaystyle \ {u'_{k}}(x)\rightrightarrows \omega (x)}
на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Тогда
∃
u
(
x
)
:
u
k
(
x
)
⇉
u
(
x
)
,
u
(
x
)
{\displaystyle \ \exists u(x):~{u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x)}
— дифференцируема на
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
,
u
′
(
x
)
=
ω
(
x
)
{\displaystyle \ u'(x)=\omega (x)}
на
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Теорема о почленном дифференцировании.
∀
k
:
{\displaystyle \ \forall k:}
функция
u
k
(
x
)
{\displaystyle \ {u_{k}}(x)}
дифференцируема на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
∃
c
∈
[
a
,
b
]
:
∑
k
=
1
∞
u
k
(
c
)
{\displaystyle \ \exists c\in [a,b]:~\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(c)}
сходится
∑
k
=
1
∞
u
k
′
(
x
)
{\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }{u'_{k}}(x)}
равномерно сходится на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Тогда
∃
S
(
x
)
:
∑
k
=
1
∞
u
k
(
x
)
⇉
S
(
x
)
,
S
(
x
)
{\displaystyle \ \exists S(x):~\sum _{k=1}^{\infty }{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x)}
— дифференцируема на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
,
S
′
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
u
k
′
(
x
)
{\displaystyle \ S'(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{u'_{k}}(x)}
на
[
a
,
b
]
{\displaystyle \ [a,b]}
Ссылки
О.В.Бесов.
. —
М.
: МФТИ, 2004. — 325 с.
Глава 16 Функциональные последовательности и ряды