Interested Article - Кольцо (математика)

Кольцо́ (также ассоциативное кольцо ) в общей алгебре алгебраическая структура , в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения , по свойствам похожие на соответствующие операции над числами . Простейшими примерами колец являются совокупности чисел ( целых , вещественных , комплексных ), совокупности числовых функций , определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом .

Понятие кольца было введено для изучения общих свойств операций умножения и сложения, их внутренней связи между собой, безотносительно природы элементов, над которыми операции производятся.

Кольца являются основным объектом изучения теории колец — крупного раздела общей алгебры, в котором разработаны инструментальные средства, нашедшие широкое применение в алгебраической геометрии , алгебраической теории чисел , алгебраической -теории , теории инвариантов .

История

Бурное развитие алгебры как науки началось в XIX веке. Одной из главных задач теории чисел в 1860—1870-е годы было построение теории делимости в общих полях алгебраических чисел . Решение этой задачи было опубликовано Рихардом Дедекиндом («X Дополнение к лекциям по теории чисел Дирихле», 1871 год). В этой работе было впервые рассмотрено понятие кольца целых числового поля, в этом контексте были определены понятия модуля и идеала .

Определение

Кольцо — множество , на котором заданы две бинарные операции : и (называемые сложение и умножение ), со следующими свойствами, выполняющимися для любых :

  1. коммутативность сложения;
  2. ассоциативность сложения;
  3. — существование нейтрального элемента относительно сложения;
  4. — существование противоположного (обратного) элемента относительно сложения;
  5. — ассоциативность умножения;
  6. дистрибутивность .

Иными словами, кольцо — универсальная алгебра , являющаяся абелевой группой относительно сложения , полугруппой относительно умножения и обладающая двусторонней дистрибутивностью относительно .

Часто отдельно изучаются кольца, обладающие одним или обоими следующими дополнительными свойствами:

  • наличие единицы : ( кольцо с единицей ), обычно единица обозначается 1;
  • коммутативность умножения: ( коммутативное кольцо );

Иногда под кольцом понимают только кольца с единицей (то есть требуют, чтобы полугруппа была моноидом ), но изучаются также и кольца без единицы (например, кольцо чётных чисел является коммутативным ассоциативным кольцом без единицы ).

Вместо символа часто используют символ (либо вовсе его опускают).

Группа называется аддитивной группой кольца , а полугруппа мультипликативной полугруппой этого же кольца.

Простейшие свойства

Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:

  • относительно сложения в кольце нейтральный элемент единственен;
  • для любого элемента кольца обратный к нему по сложению элемент единственен;
  • нейтральный элемент относительно умножения, если он существует, единственен;
  • , то есть 0 — поглощающий элемент по умножению;
  • , где — элемент, обратный к по сложению;
  • ;
  • .

Основные понятия

Виды элементов кольца

Пусть в кольце есть элементы, отличные от нуля (кольцо не является тривиальным ). Тогда левый делитель нуля — ненулевой элемент кольца для которого существует ненулевой элемент кольца , такой что . Аналогично определяется правый делитель нуля. В коммутативных кольцах эти понятия совпадают. Например, для кольца непрерывных функций на интервале выбрав и будет иметь место , то есть и являются делителями нуля. Здесь условие означает, что является функцией, отличной от нуля, но не означает, что нигде не принимает значение .

Нильпотентный элемент — элемент такой что для некоторого . Пример: матрица . Нильпотентный элемент всегда является делителем нуля (если только кольцо состоит не из одного нуля), обратное в общем случае неверно .

Идемпотентный элемент — такой элемент, что . Например, идемпотентен любой оператор проектирования , в частности, следующий: в кольце матриц .

Если — произвольный элемент кольца с единицей то левым обратным элементом к называется такой, что . Правый обратный элемент определяется аналогично. Если у элемента есть как левый, так и правый обратный элемент, то последние совпадают, и говорят, что обладает обратным элементом, который определён однозначно и обозначается . Сам элемент называется обратимым элементом.

Подкольцо

Подмножество называется подкольцом если само является кольцом относительно операций, определённых в . При этом говорят, что — расширение кольца . Другими словами, непустое подмножество является подкольцом, если:

  • является аддитивной подгруппой кольца , то есть для любых ,
  • замкнуто относительно умножения, то есть для любых .

По определению, подкольцо непусто , поскольку содержит нулевой элемент . Нуль и единица кольца являются нулем и единицей любого его подкольца .

Подкольцо наследует свойство коммутативности .

Пересечение любого множества подколец является подкольцом. Наименьшее подкольцо, содержащее подмножество называется подкольцом, порождённым , а — системой образующих для кольца . Такое подкольцо всегда существует, так как пересечение всех подколец, содержащих , удовлетворяет этому определению .

Подкольцо кольца с единицей , порождённое его единицей, называется наименьшим или главным подкольцом кольца . Такое подкольцо содержится в любом подкольце кольца .

Идеалы

Определение и роль идеала кольца сходны с определением нормальной подгруппы в теории групп .

Непустое подмножество кольца называется левым идеалом, если:

  • является аддитивной подгруппой кольца, то есть сумма любых двух элементов из принадлежит а также ;
  • замкнуто относительно умножения слева на произвольный элемент кольца, то есть для любого верно .

Из первого свойства следует и замкнутость относительно умножения внутри себя, так что является подкольцом.

Аналогично определяется правый идеал, замкнутый относительно умножения на элемент кольца справа.

Двусторонний идеал (или просто идеал) кольца — любое непустое подмножество, являющееся одновременно левым, так и правым идеалом.

Также идеал кольца может определяться как ядро некоторого гомоморфизма .

Если — элемент кольца , то множество элементов вида (соответственно, ) называется левым (соответственно, правым) главным идеалом , порождённым . Если кольцо коммутативно, эти определения совпадают и главный идеал, порождённый обозначается . Например, множество всех чётных чисел образует идеал в кольце целых чисел, этот идеал порождён элементом 2. Можно доказать, что все идеалы в кольце целых чисел являются главными .

Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом, называется простым , если факторкольцо по этому идеалу не имеет делителей нуля. Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом и не содержащийся ни в каком большем идеале, не равном кольцу, называется максимальным .

Гомоморфизм

Гомоморфизм колец (кольцевой гомоморфизм) — отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, гомоморфизм из кольца в кольцо функция такая что

  1. ,
  2. .

В случае колец с единицей иногда требуют также условия .

Гомоморфизм колец называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. Автоморфизм — гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: тождественное отображение кольца на себя является автоморфизмом .

Если — гомоморфизм колец, множество элементов переходящих в ноль, называется ядром (обозначается ). Ядро любого гомоморфизма является двусторонним идеалом . С другой стороны, образ не всегда является идеалом, но является подкольцом (обозначается ).

Факторкольцо

Определение факторкольца по идеалу аналогично определению факторгруппы . Более точно, факторкольцо кольца по двустороннему идеалу — множество классов смежности аддитивной группы по аддитивной подгруппе со следующими операциями:

  • ,
  • .

Аналогично случаю групп, существует канонический гомоморфизм , задаваемый как . Ядром при этом является идеал .

Аналогично теореме о гомоморфизме групп существует теорема о гомоморфизме колец: пусть тогда изоморфен факторкольцу по ядру гомоморфизма .

Некоторые особые классы колец

  • Кольцо с единицей , в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом .
  • Коммутативное тело называется полем ; иначе говоря, поле — коммутативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных идеалов .
  • Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности (или целостным кольцом) . Любое поле является областью целостности, но обратное неверно .
  • Целостное кольцо , не являющееся полем, называется евклидовым , если на кольце задана норма такая, что:
    1. для любых ненулевых верно, что ;
    2. для любых ненулевых существуют такие, что и или .
  • Целостное кольцо, в котором всякий идеал является главным, называется кольцом главных идеалов ; всякие евклидово кольцо и всякое поле являются кольцами главных идеалов .
  • Кольцо, элементами которого являются числа , а операциями — сложение и умножение чисел, называют числовым кольцом , например, множество чётных чисел является числовым кольцом, но не будет кольцом никакая система отрицательных чисел, так как их произведение положительное .

Примеры

  • тривиальное кольцо , состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей . Этот тривиальный пример полезно считать кольцом с точки зрения теории категорий , так как при этом в категориях колец возникает терминальный объект .
  • целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над . Также это начальный объект в категории Ring колец с единицей.
  • конечное кольцо вычетов по модулю натурального числа n . Это классические примеры колец из теории чисел. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число n простое . Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории конечных полей . Кольца вычетов также важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп , их также можно использовать для построения p -адических чисел .
  • — кольцо рациональных чисел , являющееся полем. Это простейшее поле характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по различным неэквивалентным нормам даёт поля вещественных чисел и p -адических чисел где p — произвольное простое число .
  • Для произвольного коммутативного кольца можно построить кольцо многочленов от n переменных с коэффициентами в . В частности, . Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через тензорное произведение : .
  • Кольцо подмножеств множества — кольцо, элементами которого являются подмножества в . Операция сложения есть симметрическая разность , а умножение — пересечение множеств :
.
Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё . Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть . Любой элемент является своим обратным по сложению: . Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры , в частности в построении теории вероятностей .

Конструкции

Прямое произведение

Произведение колец и можно снабдить естественной структурой кольца: для любых , :

  • ,
  • .

Сходная конструкция существует для произведения произвольного семейства колец (сложение и умножение задаются покомпонентно) .

Пусть коммутативное кольцо и — попарно взаимно простые идеалы в нём (идеалы называются взаимно простыми, если их сумма равна всему кольцу). Китайская теорема об остатках утверждает, что отображение:

сюръективно, а его ядро — ( произведение идеалов , пересечение идеалов ) .

Кольцо эндоморфизмов

Множество эндоморфизмов абелевой группы образует кольцо, обозначаемое . Сумма двух эндоморфизмов определяется покомпонентно: , а произведение — как композиция: . Если — неабелева группа, то , вообще говоря, не равно , тогда как сложение в кольце должно быть коммутативным .

Поле частных и кольцо частных

Для целостного кольца существует конструкция, позволяющая построить наименьшее поле , содержащее его. Поле частных кольца — множество классов эквивалентности формальных дробей по следующему отношению эквивалентности :

тогда и только тогда, когда ,

с обычными операциями: и .

Не вполне очевидно, что заданное отношение действительно является отношением эквивалентности: для доказательства приходится воспользоваться целостностью кольца. Существует обобщение данной конструкции на произвольные коммутативные кольца: мультипликативно замкнутая система в коммутативном кольце (то есть подмножество, содержащее единицу и не содержащее нуля; произведение любых двух элементов из подмножества снова ему принадлежит) — кольцо частных — множество классов эквивалентности формальных дробей по отношению эквивалентности:

тогда и только тогда, когда существует , такое что .

Также эту конструкцию называют локализацией кольца (так как в алгебраической геометрии она позволяет исследовать локальные свойства многообразия в отдельной его точке). Пример: кольцо десятичных дробей — локализация кольца целых чисел по мультипликативной системе .

Существует естественное отображение . Его ядро состоит из таких элементов , для которых существует , такое что . В частности, для целостного кольца это отображение инъективно .

Категорное описание

Кольца вместе с гомоморфизмами колец образуют категорию , обычно обозначаемую (иногда так обозначают категорию колец с единицей, а категорию обычных колец обозначают ). Категория колец с единицей обладает многими полезными свойствами: в частности, она полна и кополна . Это значит, что в ней существуют все малые пределы и копределы (например, произведения , копроизведения , ядра и коядра ). Категория колец с единицей обладает начальным объектом (кольцо ) и терминальным объектом (нулевое кольцо).

Можно дать следующее категорное определение кольца: ассоциативное кольцо с единицей — моноид в категории абелевых групп (абелевы группы образуют моноидальную категорию относительно операции тензорного произведения ). Действие кольца R на абелевой группе (кольца, рассматриваемого как моноид по умножению) превращает абелеву группу в R - модуль . Понятие модуля обобщает понятие векторного пространства : грубо говоря, модуль — «векторное пространство над кольцом».

Специальные классы колец

Обобщения — неассоциативное кольцо , полукольцо , почтикольцо .

Структуры над кольцами

Примечания

  1. , с. 17—19.
  2. Бельский А., Садовский Л. // Квант . — 1974. — № 2 . 1 сентября 2004 года.
  3. Erich Reck. // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. — 2012-01-01. 2 декабря 2013 года.
  4. , с. 9.
  5. , с. 18—19.
  6. , с. 273—275.
  7. , с. 51—53.
  8. , с. 11.
  9. , с. 359.
  10. , с. 407.
  11. , с. 110—111.
  12. , с. 21.
  13. , с. 437.
  14. , с. 64.
  15. , с. 153.
  16. , с. 430—431.
  17. , с. 406.
  18. , с. 10.
  19. , с. 388.
  20. , с. 107—108.
  21. , с. 432.
  22. , с. 387—390.
  23. , с. 523.
  24. , с. 152.
  25. , с. 430.
  26. , с. 118.
  27. .
  28. , с. 266.
  29. .
  30. .
  31. , с. 28—34.
  32. , с. 509—512.
  33. , с. 33.
  34. , с. 173.
  35. , с. 450—452.
  36. , с. 305—311.

Литература

  • Атья М. , Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М. : Мир, 1972. — 160 с.
  • Бельский А., Садовский Л. // Квант № 2, 1974.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М. : Мир, 1975. — 623 с.
  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. - Новое издание, перераб. и доп.. — М. : МЦНМО, 2011. — 592 с.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе: IX-X класс. Пособие для учителей - Новое издание, перераб. и доп.. — М. : Просвещение, 1983. — 351 с.
  • Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей / Колмогоров А. Н. , Юшкевич А. П. (ред.). — М. : Наука, 1978. — 255 с.
  • Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М. : Высш. школа, 1979. — 559 с.
  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры.. — М. : Наука, 1968. — 431 с.
  • Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. — М. : Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.
  • Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. — М. : Мир, 1979. — Т. 2. — 464 с.
  • Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М. : Мир, 1972. — 190 с.
Источник —

Same as Кольцо (математика)