Рассмотрим функции
и
, определённые на промежутке
,
,
и имеющую в точке
особенность (первого или второго рода). Пусть выполнены условия:
интеграл с верхним переменным пределом
определён для всех
и ограничен на
;
функция
монотонна на
и
.
Тогда
сходится.
Доказательство
Рассмотрим интеграл
для некоторых
(не ограничивая общности будем считать
). Так как
монотонна на
, она на нём интегрируема, а значит, и
интегрируема на
как произведение интегрируемых функций.
Функция
ограничена на
, а значит, есть
такой, что
,
. Тогда:
мотонно стремится к нулю, следовательно, она ограничена с одной стороны
, а с другой
. Тогда
и
.
, что по определению означает
Тогда
(
берём меньше или равно
)
,
что есть не что иное, как критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
Признак можно сформулировать и для случая, если особенность в точке
. Пусть
,
и
определена на
. В таком случае условия видоизменяются следующим образом:
интеграл с нижним переменным пределом
определён для всех
и ограничен на
;
монотонна на
и
.
Тогда
сходится.
Необязательно также, что
. Если
, то
и сходимость
равносильна сходимости
.
Если интеграл удовлетворяет условиям признака Дирихле, то для его остатка верна следующая оценка:
Здесь
– произвольное число из промежутка, а
— число, которым ограничен интеграл с верхним переменным пределом. При помощи этой оценки можно приближать значение несобственного интеграла собственным с любой наперёд заданной точностью.
Условие ограниченности
первообразной
в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.
Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа
Определение (ряд Абелева типа)
Ряд
, где
и
последовательность
— положительна и
монотонна
(начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется
рядом Абелева типа
.
Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром
Пусть функция
и
определёны на множестве
,
,
и допускается, что интеграл
для каких-то точек
имеет особенность в точке
. Пусть выполнены условия:
интеграл с верхним переменным пределом
определён для всех
,
и равномерно ограничен на
;
функция
монотонна по
на
для каждого конкрентого
и
при
.
Тогда
сходится равномерно.
Доказательство
Доказательство почти идентично случаю интеграла без параметра. Фиксируем
и далее рассматриваем функции
и
как функции одной переменной
. Для них делаем всё то же, что и в доказательстве для интегралов без параметра, за исключением того, что
берём одинаковый для всех
(это возможно сделать по вполне ограниченности). Приходим к
.
— равномерно стремится к нулю. Запишем определение равномерной сходимости:
Тогда
.
Пришли к критерию Коши равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром.