Гладкая функция порядка 0 — непрерывная функция .

Гладкая функция порядка 1 — непрерывно-дифференцируемая функция, то есть функция , имеющая непрерывную производную .

Гладкая функция порядка ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ — дифференцируемая ${\displaystyle k}$ раз функция, плюс к этому ${\displaystyle k}$ -я производная является непрерывной.

Гладкая функция порядка ${\displaystyle \infty }$ — бесконечно-дифференцируемая функция, то есть функция , имеющая производные всех порядков.

Гладкая функция порядка ${\displaystyle \omega }$ или ${\displaystyle a}$ — вещественно-аналитическая функция , то есть функция , разложимая в степенной ряд окрестности точки (в окрестности каждой точки, если рассматривается гладкость на множестве).

Без уточнения порядка под гладкой функцией обычно понимают либо непрерывно-дифференцируемую функцию, либо бесконечно-дифференцируемую функцию, в зависимости от конкретного автора. Также довольно часто в конкретном месте под гладкой функцией понимают гладкую функцию порядка достаточного для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.

Гладкость может быть определена как в одной точке, так и на всей области определения. Множество гладких функций порядка ${\displaystyle k}$ на множестве ${\displaystyle X}$ обозначается как ${\displaystyle C^{k}(X)}$ и называется классом гладкости . Классы гладкости упорядочены по включению следующим образом: ${\displaystyle C^{0}\subset C^{1}\subset C^{2}\subset \ldots \subset C^{\infty }\subset C^{\omega }}$ ; таким образом, гладкая функция порядка ${\displaystyle k}$ является гладкой и всех порядков меньших ${\displaystyle k}$ . Гладкие функции порядка ${\displaystyle k}$ также называют ${\displaystyle k}$ -гладкими функциями.

Гладкие функции на различных множествах

Под областью значений гладкой функции всегда понимают ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ; в случае множества ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ говорят о гладкой вектор-функции , а в случае произвольного многообразия — о гладком отображении. Под областью определения гладкой функции может пониматься вообще любое множество, имеющее структуру многообразия.

На подмножествах ${\displaystyle \mathbb {R} }$ гладкие функции могут быть определены на промежутках. На множестве из одной точки любая функция считается гладкой любого порядка. На интервалах работает определение приведённое выше, на полуинтервалах или отрезках в концевых точках рассматривается односторонняя производная. Также ${\displaystyle k}$ -гладкая функция определяется для произвольного объединения промежутков и изолированных точек как функция, ${\displaystyle k}$ -гладкая на каждом из них.

На подмножествах ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ всё работает аналогично, гладкость определяется на изолированных точках, открытых множествах, замкнутых областях и на различных других.

На гладком многообразии порядка ${\displaystyle k}$ понятие гладкой функции может быть определено только до порядка ${\displaystyle k}$ включительно.

Вектор-функция называется ${\displaystyle k}$ -гладкой, если у неё все компоненты ${\displaystyle k}$ -гладкие.

Приближение аналитическими функциями

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ -- область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle f\in C^{k}(\Omega )}$ , ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty }$ . Пусть ${\displaystyle \{K_{p}\}}$ — последовательность компактных подмножеств ${\displaystyle \Omega }$ такая, что ${\displaystyle K_{0}=\varnothing }$ , ${\displaystyle K_{p}\subset K_{p+1}}$ и ${\displaystyle \bigcup K_{p}=\Omega }$ . Пусть ${\displaystyle \{n_{p}\}}$ — произвольная последовательность положительных целых чисел и ${\displaystyle m_{p}=\min(k,\;n_{p})}$ . Наконец, пусть ${\displaystyle \{\varepsilon _{p}\}}$ — произвольная последовательность положительных чисел. Тогда существует вещественно-аналитическая функция ${\displaystyle g}$ , определённая в ${\displaystyle \Omega }$ такая, что для всякого ${\displaystyle p\geqslant 0}$ выполнено неравенство

${\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},}$

где ${\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}}$ обозначает максимум из норм (в смысле равномерной сходимости , то есть максимума модуля на множестве ${\displaystyle {K_{p+1}\backslash K_{p}}}$ ) производных функции ${\displaystyle f-g}$ всех порядков от нуля до ${\displaystyle {m_{p}}}$ включительно.

Дробная гладкость

Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера , которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости.

Функция ${\displaystyle f}$ принадлежит классу ${\displaystyle C^{r,\alpha }}$ , где ${\displaystyle r}$ — целое неотрицательное число и ${\displaystyle 0<\alpha \leqslant 1}$ , если имеет производные до порядка ${\displaystyle r}$ включительно и ${\displaystyle f^{(r)}}$ является гёльдеровской с показателем ${\displaystyle \alpha }$ .

В переводной литературе, наравне с термином показатель Гёльдера , используется термин показатель Липшица .

См. также

• Кусочно-гладкая функция
• Лемма Адамара
• Лемма Сарда

Для улучшения этой статьи по математике желательно : Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники , подтверждающие написанное . Добавить иллюстрации . После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.