В математике квадра́тная ма́трица — это матрица , у которой число строк совпадает с числом столбцов, и это число называется порядком матрицы. Любые две квадратные матрицы одинакового порядка можно складывать и умножать.

Квадратные матрицы часто используются для представления простых линейных отображений — таких, как или поворот . Например, если R — квадратная матрица, представляющая вращение ( матрица поворота ) и v — вектор-столбец , определяющий положение точки в пространстве, произведение Rv даёт другой вектор, который определяет положение точки после вращения. Если v — вектор-строка , такое же преобразование можно получить, используя vR ^T , где R ^T — транспонированная к R матрица.

Главная диагональ

Элементы a _ii ( i = 1, …, n ) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Эти элементы лежат на воображаемой прямой, проходящей из левого верхнего угла в правый нижний угол матрицы . Например, главная диагональ 4х4 матрицы на рисунке содержит элементы a ₁₁ = 9, a ₂₂ = 11, a ₃₃ = 4, a ₄₄ = 10.

Диагональ квадратной матрицы, проходящая через нижний левый и верхний правый углы, называется побочной .

Специальные виды

Название	Пример с n = 3
Диагональная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Нижняя треугольная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Верхняя треугольная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$

Диагональные и треугольные матрицы

Если все элементы вне главной диагонали нулевые, A называется диагональной . Если все элементы над (под) главной диагональю нулевые, A называется нижней (верхней) треугольной матрицей . Треугольная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется унитреугольной .

Единичная матрица

Единичная матрица E _n размера n — это n × n матрица, в которой все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные элементы равны 0 (часто вместо буквы E используют букву I ) . Таким образом,

${\displaystyle E_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ E_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

Умножение на единичную матрицу оставляет матрицу неизменной:

AE _n = E _n A = A для любой n × n матрицы A .

Симметричные и антисимметричные матрицы

Квадратная матрица A , совпадающая со своей транспонированной , то есть A = A ^T , называется симметричной . Если же A отличается от транспонированной матрицы знаком, то есть A = − A ^T , то A называется антисимметричной (или кососимметричной ) . В случае комплексных матриц понятие симметрии часто заменяют понятием самосопряжённости , а матрицу, удовлетворяющую равенству A ^∗ = A , называют эрмитовой (или самосопряжённой ); здесь звёздочкой обозначена операция эрмитова сопряжения , смысл которой — в замене каждого элемента исходной матрицы комплексно сопряжённым числом с последующим транспонированием полученной матрицы .

По спектральной теореме для вещественных симметричных матриц и комплексных эрмитовых матриц существуют базисы, состоящие из собственных векторов ; таким образом, любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации собственных векторов. В обоих случаях все собственные значения вещественны . Эту теорему можно распространить на бесконечномерный случай, когда матрицы имеют бесконечно много строк и столбцов.

Обратимые матрицы

Квадратная матрица A называется обратимой или невырожденной , если существует матрица B , такая, что

AB = BA = E .

Если матрица B существует, она единственна и называется обратной к A и записывается как A ⁻¹ .

Определённая матрица

Положительно определённая	Неопределённая
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1/4\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}}$
Q ( x , y ) = 1/4 x 2 + 1/4 y 2	Q ( x , y ) = 1/4 x 2 − 1/4 y 2
Точки, удовлетворяющие уравнению Q ( x , y ) = 1 ( Эллипс ).	Точки, удовлетворяющие уравнению Q ( x , y ) = 1 ( Гипербола ).

Симметричная n × n матрица называется положительно определённой (соответственно, отрицательно определённой или неопределённой), если для всех ненулевых векторов x ∈ R ⁿ соответствующая квадратичная форма

Q ( x ) = x ^T Ax

принимает только положительные значения (соответственно, отрицательные значения или и те, и другие). Если квадратичная форма принимает только неотрицательные (соответственно, только неположительные) значения, симметричная матрица называется положительно полуопределённой (соответственно, отрицательно полуопределённой). Матрица будет неопределённой, если она ни положительно, ни отрицательно полуопределена .

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все её собственные значения положительны . Таблица справа показывает два возможных случая для матриц 2×2.

Если использовать два различных вектора, получим билинейную форму , связанную с A :

B _A ( x , y ) = x ^T Ay .

Ортогональная матрица

Ортогональная матрица — это квадратная матрица с вещественными элементами, столбцы и строки которой являются ортогональными единичными векторами (то есть ортонормальными). Можно также определить ортогональную матрицу как матрицу, обратная для которой равна транспонированной :

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1},}$

откуда вытекает

${\displaystyle A^{T}A=AA^{T}=E}$ ,

где E — единичная матрица .

Ортогональная матрица A всегда обратима ( A ⁻¹ = A ^T ), унитарна ( A ⁻¹ = A *), и нормальна ( A * A = AA *). Определитель любой ортогональной матрицы равен либо +1, либо −1 . Умножение на ортогональную матрицу задаёт такое линейное преобразование арифметического пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , которое в случае матрицы с определителем +1 является простым поворотом , а в случае матрицы с определителем −1 является либо простым отражением , либо суперпозицией отражения и поворота.

Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица .

Операции

След

Следом квадратной матрицы A (tr( A )) называется сумма элементов главной диагонали. В то время как умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно, след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей:

tr( AB ) = tr( BA ).

Это непосредственно вытекает из определения произведения матриц:

${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {tr} ({\mathsf {AB}})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} ({\mathsf {BA}}).}$

Также след матрицы равен следу транспонированной к ней, то есть

tr( A ) = tr( A ^T ).

Определитель

Определитель det( A ) или | A | квадратной матрицы A — это число, определяющее некоторые свойства матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда , когда её определитель ненулевой. Абсолютная величина определителя равна площади (в R ² ) или объёму (в R ³ ) образа единичного квадрата (или куба), в то время как знак определителя соответствует ориентации соответствующего отображения — определитель положителен в том и только в том случае, когда ориентация сохраняется.

Определитель 2×2 матриц вычисляется по формуле

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$

Определитель матриц 3×3 использует 6 произведений ( правило Сарруса ). Более длинная формула Лейбница обобщает эти две формулы на все размерности .

Определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей:

det( AB ) = det( A ) • det( B ) .

Добавление любой строки с коэффициентом к другой строке, или любого столбца с коэффициентом к другому столбцу не изменяет определителя. Обмен местами двух строк или столбцов приводит к изменению знака определителя . Используя эти операции, любую матрицу можно привести к нижней (или верхней) треугольной матрице, а для таких матриц определитель равен произведению элементов главной диагонали, что даёт способ вычисления определителя любой матрицы. Наконец, теорема Лапласа выражает определитель в терминах миноров , то есть определителей меньших матриц . Эта теорема даёт возможность рекурсивного вычисления определителей (начав с определителя матрицы 1×1, или даже с определителя матрицы 0×0, который равен 1), что можно рассматривать как эквивалент формуле Лейбница. Определители можно использовать для решения линейных систем с помощью метода Крамера .

Собственные значения и собственные вектора

Число λ и ненулевой вектор v , удовлетворяющие уравнению

Av = λ v ,

называются собственным значением и собственным вектором матрицы A соответственно . Число λ является собственным числом n × n матрицы A в том и только в том случае, когда A −λ E не имеет обратной, что эквивалентно

${\displaystyle \det({\mathsf {A}}-\lambda {\mathsf {E}})=0.\ }$

Многочлен p _A от X , получаемый как определитель det( X E − A ), называется характеристическим многочленом матрицы A . Это нормированный многочлен степени n . Таким образом, уравнение p _A (λ) = 0 имеет максимум n различных решений, то есть собственных значений матрицы . Эти значения могут быть комплексными, даже если все элементы матрицы A вещественны. Согласно теореме Гамильтона — Кэли , p _A ( A ) = 0 , то есть при подстановке самой матрицы в характеристический многочлен, получим нулевую матрицу .

Примечания

Ссылки

• Беллман Р. . Введение в теорию матриц. 2-е изд. — М. : Наука , 1976. — 352 с.
• Воеводин В. В. , Кузнецов Ю. А. . Матрицы и вычисления. — М. : Наука , 1984. — 320 с.
• Гантмахер Ф. Р. . Теория матриц. 4-е изд. — М. : Наука , 1988. — 552 с. — ISBN 5-02-013722-7 .
• Икрамов Х. Д. . Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы. — М. : Наука , 1991. — 240 с. — ISBN 5-02-014462-2 .
• Победря Б. Е. . Лекции по тензорному анализу. 3-е изд. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1986. — 264 с.
• Хорн Р., Джонсон Ч. . Матричный анализ. — М. : Мир , 1989. — 655 с. — ISBN 5-03-001042-4 .
• Brown, William C. . . — New York: Marcel Dekker, 1991. — viii + 328 p. — ISBN 978-0-8247-8419-5 .
• Mirsky, Leonid. . . — New York: Dover Publications, 1990. — viii + 440 p. — ISBN 978-978-0-486 -66434-7.