Двойной ряд — числовая последовательность, элементы которой занумерованы парами целых положительных чисел (индексов), рассматриваемая совместно с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм ряда .

Определение

Пусть ${\displaystyle \{a_{i,j}\}_{i=1,j=1}^{\infty }}$ — числовая последовательность ; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность частичных сумм ряда

${\displaystyle \{s_{k,l}\}_{k=1,l=1}^{\infty },}$

каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности

${\displaystyle \{s_{k,l}\}=\sum _{i=1,j=1}^{i=k,j=l}a_{i,j}}$

Вообще, для обозначения ряда используется символ:

${\displaystyle \sum _{i=1,j=1}^{\infty }a_{i,j},}$

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового двойного ряда:

• числовой двойной ряд сходится , если сходится последовательность его частичных сумм, то есть ряд ${\displaystyle \{a_{i,j}\}}$ сходится и имеет сумму ${\displaystyle s}$ , если, каково бы ни было ${\displaystyle \varepsilon >0}$ , найдутся такие числа ${\displaystyle m_{0}}$ и ${\displaystyle n_{0}}$ , что при ${\displaystyle m>m_{0}}$ и ${\displaystyle n>n_{0}}$ выполняется неравенство ${\displaystyle \|s_{mn}-s\|<\varepsilon }$ . Также условие сходимости двойного ряда к сумме ${\displaystyle s}$ можно записать в виде

${\displaystyle \lim _{n,m\to \infty }s_{mn}=s}$ .

• числовой двойной ряд расходится , если расходится последовательность его частичных сумм;
• числовой двойной ряд сходится абсолютно , если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел ${\displaystyle S}$ последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда :

${\displaystyle S=\sum _{i=1,j=1}^{\infty }a_{i,j}}$

Свойства

• Пусть в сходящемся двойном ряде ${\displaystyle \{a_{m,n}\}_{m,n=1}^{\infty }}$ с суммой ${\displaystyle s}$ сходятся все строки, а также пусть сходится ряд, составленный из их сумм, то есть пусть существуют пределы в равенствах ${\displaystyle s_{i*}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}a_{ij}}$ и ${\displaystyle s'=\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}s_{i*}}$ . Тогда ${\displaystyle s=s'}$ . Аналогично, если существуют пределы ${\displaystyle s_{*j}=\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}a_{ij}}$ и ${\displaystyle s''=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}s_{*j}}$ . Тогда ${\displaystyle s=s''}$ .
• Теорема Маркова. Пусть в двойном ряде ${\displaystyle \{a_{i,j}\}}$ сходятся все строки ${\displaystyle s_{m*}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{mn}}$ и все столбцы ${\displaystyle s_{*n}=\sum _{m=1}^{\infty }a_{mn}}$ . Обозначим сумму строк ${\displaystyle s'=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m*}}$ .

Тогда:

• • ${\displaystyle k}$ - е остатки строк ${\displaystyle r_{m}^{(k)}=\sum _{n=k+1}^{\infty }a_{mn}}$ образуют сходящийся ряд ${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }r_{m}^{(k)}}$ с некоторой суммой ${\displaystyle R_{k}}$ .
  • Для того, чтобы сходился ряд, составленный из сумм столбцов ${\displaystyle s''=\sum _{n=1}^{\infty }s_{*n}}$ необходимо и достаточно существование предела ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }R_{k}=R}$ .
  • Для равенства ${\displaystyle s'=s''}$ необходимо и достаточно, чтобы было ${\displaystyle R=0}$ .

Примечания

Литература

• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М. : Наука, 1986. — 408 с.