Данная статья — часть обзора История математики .

Научные достижения индийской математики широки и многообразны. Уже в древние времена учёные Индии на своём, во многом оригинальном пути развития достигли высокого уровня математических знаний. В I тысячелетии н. э. индийские учёные подняли античную математику на новую, более высокую ступень. Они изобрели привычную нам десятичную позиционную систему записи чисел, предложили символы для 10 цифр (которые, с некоторыми изменениями, используются повсеместно в наши дни), заложили основы десятичной арифметики, комбинаторики , разнообразных численных методов, в том числе тригонометрических расчётов.

Древнейший период

Развитие индийской математики началось, вероятно, достаточно давно, но документальные сведения о начальном её периоде практически отсутствуют. Среди наиболее древних из сохранившихся индийских текстов, содержащих математические сведения, выделяется серия религиозно-философских книг Шульба-сутры (дополнение к Ведам ). Эти сутры описывают построение жертвенных алтарей. Самые старые редакции этих книг относятся к VI веку до н. э., позднее (примерно до III века до н. э.) они постоянно дополнялись. Уже в этих древних манускриптах содержатся богатые математические сведения, по своему уровню не уступающие вавилонским :

• Действия с дробями
• Извлечение корней («карани» на санскрите )
• Рациональные приближения для корней
• Решение неопределённых уравнений
• Суммирование арифметической и геометрической прогрессий
• Теорема Пифагора
• Точные и приближённые методы для нахождения площади треугольника , параллелограмма и трапеции , объёма цилиндра , призмы , усечённой призмы.

Классическая задача комбинаторики : «сколько есть способов извлечь m элементов из N возможных» упоминается в сутрах, начиная примерно с IV века до н. э. Индийские математики, видимо, первыми открыли биномиальные коэффициенты и их связь с биномом Ньютона . Во II веке до н. э. индийцы знали, что сумма всех биномиальных коэффициентов степени n равна ${\displaystyle 2^{n}}$ .

Нумерация и счёт

Индийская нумерация (способ записи чисел) изначально была изысканной. В санскрите были средства для именования чисел до ${\displaystyle 10^{53}}$ . Для цифр сначала использовалась сиро-финикийская система, а с VI века до н. э. — написание « брахми », с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими , а сами арабы — индийскими .

Около 500 г. н. э. неизвестные нам индийские учёные изобрели десятичную позиционную систему записи чисел. В новой системе выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами, как у греков , или шестидесятеричных , как у вавилонян .

В VII веке сведения об этом замечательном изобретении дошли до христианского епископа Сирии , который писал :

Я не стану касаться науки индийцев… их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счёт производится с помощью девяти знаков.

Очень скоро потребовалось введение нового числа — нуля . Учёные расходятся во мнениях, откуда в Индию пришла эта идея — от греков, из Китая , или индийцы изобрели этот важный символ самостоятельно. Первый код нуля обнаружен в манускрипте Бакхшали 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка.

Дроби в Индии записывались вертикально, как делаем и мы, только вместо черты дроби их заключали в рамку (так же, как в Китае и у поздних греков). Действия с дробями ничем не отличались от современных.

Индийцы использовали счётные доски, приспособленные к позиционной записи. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечение квадратных и кубических корней. Сам наш термин «корень» появился из-за того, что индийское слово « мула » имело два значения: основание и корень (растения); арабские переводчики ошибочно выбрали второе значение, и в таком виде оно попало в латинские переводы. Возможно, аналогичная история произошла со словом « синус ». Для контроля вычислений применялось сравнение по модулю 9.

Математики древней и средневековой Индии

Первые дошедшие до нас « сиддханты » (научные сочинения) относятся уже к IV—V векам н. э., и в них заметно сильное древнегреческое влияние. Отдельные математические термины — просто кальки с греческого. Предполагается, что часть этих трудов была написана греками-эмигрантами, бежавшими из Александрии и Афин от антиязыческих погромов в Римской империи . Например, известный александрийский астроном Паулос написал «Пулиса-сиддханта».

К V—VI векам относятся труды Ариабхаты , выдающегося индийского математика и астронома. В его труде « Ариабхатиам » встречается множество решений вычислительных задач. В VII веке работал другой известный индийский математик и астроном, Брахмагупта . Начиная с Брахмагупты, индийские математики свободно обращаются с отрицательными числами, трактуя их как долг. Предположительно, эта идея пришла из Китая. При решении уравнений, однако, отрицательные результаты неизменно отвергали. Брахмагупта, как и Ариабхата, систематически применял непрерывные дроби , теория которых отсутствовала у греков.

Особенно далеко индийцы продвинулись в алгебре и в численных методах . Их алгебраическая символика богаче, чем у Диофанта , хотя несколько громоздка (засорена словами). Геометрия по каким-то причинам вызывала у индийцев слабый интерес — доказательства теорем состояли из чертежа и слова «смотри». Формулы для площадей и объёмов, а также тригонометрию они, скорее всего, унаследовали от греков.

Ряд открытий был сделан в области решения неопределённых уравнений в натуральных числах. Вершиной стало решение в общем виде уравнения ${\displaystyle ax^{2}+b=y^{2}}$ . В 1769 г. индийский метод переоткрыл Лагранж .

В VII—VIII веках индийские математические труды переводятся на арабский. Десятичная система проникает в страны ислама , а через них, со временем — и в Европу.

В XI веке происходит захват и разорение мусульманами Северной Индии ( Махмуд Газневи ). Культурные центры переносятся в Южную Индию. Научная жизнь на длительный период угасает. Из значительных фигур этого периода можно выделить Бхаскару , автора астрономо-математического трактата « Сиддханта-широмани ». Бхаскара дал решение уравнения Пелля и ряда других диофантовых уравнений , продвинул теорию непрерывных дробей и сферическую тригонометрию .

XVI век был отмечен крупными открытиями в теории разложения в ряды, переоткрытыми в Европе 100—200 лет спустя. В том числе — ряды для синуса , косинуса и арксинуса . Поводом к их открытию послужило, видимо, желание найти более точное значение числа ${\displaystyle \pi }$ .

Примечания

Литература

• Бахмутская Э. Я. Степенные ряды для sinθ и cosθ в работах индийских математиков XV—XVII вв. Историко-математические исследования, 13, 1960, с. 325—334.
• Володарский А. И. Математика в древней Индии // Историко-математические исследования . — М. : Наука , 1975. — № 20 . — С. 282—298 .
• Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. — М.: Наука, 1977.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М. : Просвещение, 1964. — 376 с.
• Депман И. Я. . — Изд. второе. — М. : Просвещение, 1965. — 416 с.
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. I.
• Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М. : Изд. МГУ, 1960—1963.
• Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича . — М. : Просвещение, 1976. — 318 с.
• Шридхара. Патиганита. Перевод О. Ф. Волковой и А. И. Володарского. Статья примечания А. И. Володарского. — ФМСВ, 1966, вып. 1(4), 141—246.

• Datta В., Singh A. N. Histогу of Hindu mathematics, V. 1—2. Bombay, 1963.
• , MacTutor History of Mathematics Archive , St Andrews University, 2000.
  • от 22 октября 2019 на Wayback Machine , MacTutor History of Mathematics Archive , St Andrews University, 2004.
  • , . Ian Pearce. MacTutor History of Mathematics Archive , St Andrews University, 2002.