Кера́льская школа астрономии и математики — научная школа, которая существовала в Индии в XIV—XVII веках и внесла заметный вклад в астрономию и математику .

История

После завоевания мусульманами северной Индии в XI веке ( Махмуд Газневи ) центр научной деятельности индийцев переместился в южную провинцию Керала . Основателем школы стал Мадхава из Сангамаграмы . Среди других видных учёных керальской школы:

• Дамодара
• Нилаканта Сомаяджи

Последними представителями школы были в XVII веке Ачьюта Пишарати и Нараяна Бхаттатири . Свои результаты керальцы публиковали в трактатах ( сиддхантах ) на санскрите , излагая их чаще всего без доказательств, нередко стихами.

Преимущественным направлением исследований в Керале была астрономия , но при решении астрономических задач были сделаны важные математические открытия. В частности, опередив европейских математиков на два века, учёные школы получили разложение тригонометрических функций в бесконечные степенные ряды . В Европе их достижения долго оставались неизвестными и были обнаружены историками только в XIX веке .

Научные достижения

Астрономия

Астрономы Керальской школы с высокой точностью измерили величину предварения равноденствий , а также продолжительность года, лунного месяца и других астрономических констант.

В 1500 году Нилаканта Сомаяджи в своей «Тантрасанграхе» предложил модификацию системы мира, ранее описанной Ариабхатой . В своей Ариабхатавахьязе , комментариях к Ариабхатье , он предложил модель, где планеты Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн обращаются вокруг Солнца, а оно, в свою очередь, вокруг Земли . Эта гео-гелиоцентрическая система напоминает предложенную Тихо Браге в конце XVI века. Большинство астрономов Керальской школы приняли его модель.

Математика

Керальская школа, как и вся индийская математика, имела заметный вычислительный уклон. Например, учёные постоянно работали над вычислением числа ${\displaystyle \pi }$ со всё возрастающей точностью. Для астрономических вычислений им удалось впервые найти разложение тригонометрических и иных функций в бесконечные ряды. Общей теории таких разложений и дальнейшего продвижения в направлении математического анализа у керальцев не было.

Бесконечные ряды приводятся в четырёх керальских сиддхантах :

1. «Научный справочник» ( Тантрасанграха ), опубликован Нилакантой.
2. «Техника действий» ( Каранападдхати ).
3. «Нить светящихся жемчужин» ( Садратанамала ).
4. «Объяснительный комментарий» ( Юкти-бхаша ), это комментарий к « Тантрасанграхе ».

Кроме тригонометрических функций, в сиддхантах приводится разложение алгебраической дроби, впрочем, известное ещё Ибн аль-Хайсаму (XI век) :

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots ,}$ если ${\displaystyle |x|<1}$

Разложения керальцами тригонометрических функций, вероятно, были получены ещё Мадхавой , но появились впервые в трактате Нилаканты « Тантрасанграха » и в современных обозначениях имели вид :

${\displaystyle r\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,}$ где ${\displaystyle y\leqslant x.}$

${\displaystyle r\sin {\frac {x}{r}}=x-x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdot }$

${\displaystyle r\left(1-\cos {\frac {x}{r}}\right)=r\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,}$

При ${\displaystyle r=1}$ ряды упрощаются и принимают более распространённый вид:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

Для получения этих формул было проведено спрямление дуги окружности . В Европе ряд для арктангенса впервые опубликовал Джеймс Грегори в 1671 году, а ряды для синуса и косинуса — Исаак Ньютон в 1666 году..

Из ряда для арктангенса легко получить ряд для вычисления числа ${\displaystyle \pi }$ :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots }$

Ряд этот сходится медленно, поэтому для практических расчётов его преобразуют к виду :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

Как подсчитал Нилаканта, ${\displaystyle \pi \approx 3{,}141592653.}$ Керальцы получили также из этих рядов довольно точные приближения числа ${\displaystyle \pi }$ в виде дробей.

Из других математических достижений керальской школы можно упомянуть, что Нилаканта уверенно заявил о несоизмеримости длины окружности с её диаметром, то есть, выражаясь современным языком, что число ${\displaystyle \pi }$ иррационально .

См. также

• Индийская астрономия
• История математики
• История математики в Индии

Литература

• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. I.
• Бахмутская Э. Я. Степенные ряды для sint и cost в работах индийских математиков XV - XVIII вв // Историко-математические исследования . — М. : Физматгиз, 1960. — № 13 . — С. 325—334 .
• Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. Либроком, 2009, 184 с. (Физико-математическое наследие: математика). ISBN 978-5-397-00474-9 .
• Паплаускас А. Б. Доньютоновский период развития бесконечных рядов. Часть I // Историко-математические исследования . — М. : Наука, 1973. — Вып. XVIII . — С. 104—131 .
• Bressoud, David. Was Calculus Invented in India? // The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.). — 2002. — Vol. 33, № 1 . — P. 2–13.
• Roy, Ranjan. Discovery of the Series Formula for ${\displaystyle \pi }$ by Leibniz, Gregory, and Nilakantha // Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.). — 1990. — Vol. 63, № 5 . — P. 291–306.

Ссылки

• , 2001.
• , MacTutor History of Mathematics archive , 2002.
• , MacTutor History of Mathematics archive , 2002.
• , MacTutor History of Mathematics archive , 2002.
• , MacTutor History of Mathematics archive , 2002.
• phys.org, 2007

Примечания