Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

${\displaystyle F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},}$

в котором коэффициенты ${\displaystyle {a_{n}}}$ берутся из некоторого кольца ${\displaystyle {R}}$ .

Пространство степенных рядов

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из ${\displaystyle {R}}$ обозначается ${\displaystyle R[[X]]}$ . Пространство ${\displaystyle R[[X]]}$ имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом ${\displaystyle {R}}$ ( коммутативной , целостной, с единицей, если таково же кольцо ${\displaystyle {R}}$ ). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций ). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В ${\displaystyle R[[X]]}$ определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и . Пусть

${\displaystyle F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},G(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n},H(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}.}$

Тогда:

${\displaystyle H=F+G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}}$

${\displaystyle H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l}}$

${\displaystyle H=F\circ G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{s=1}^{n}a_{s}\sum \limits _{k_{1}+\dots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}\dots b_{k_{s}}}$ (при этом необходимо, чтобы соблюдалось ${\displaystyle b_{0}=0}$ )

${\displaystyle H=F'\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1}}$

Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путём приписывания формальной переменной ${\displaystyle {X}}$ какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд . Числовой ряд считается сходящимся ( суммируемым ), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся , если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

• Первая теорема Абеля : Пусть ряд ${\displaystyle \Sigma \,a_{n}x^{n}}$ сходится в точке ${\displaystyle {x_{0}}}$ . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге ${\displaystyle {|x|<|x_{0}|}}$ и равномерно по ${\displaystyle {x}}$ на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при ${\displaystyle {x=x_{0}}}$ , он расходится при всех ${\displaystyle {x}}$ таких, что ${\displaystyle {|x|>|x_{0}|}}$ . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга ${\displaystyle {R}}$ (возможно, нулевой или бесконечный), что при ${\displaystyle {|x|<R}}$ ряд сходится абсолютно (и равномерно по ${\displaystyle x}$ на компактных подмножествах круга ${\displaystyle {|x|<R}}$ ), а при ${\displaystyle {|x|>R}}$ — расходится. Это значение ${\displaystyle R}$ называется радиусом сходимости ряда, а круг ${\displaystyle {|x|<R}}$ — кругом сходимости.

• Формула Коши-Адамара : Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде ) может быть вычислено по формуле:

${\displaystyle {1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|a_{n}|^{1/n}}$

(По поводу определения верхнего предела ${\displaystyle \varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}$ см. статью « Частичный предел последовательности ».)

Пусть ${\displaystyle F(x)}$ и ${\displaystyle G(x)}$ — два степенных ряда с радиусами сходимости ${\displaystyle {R_{F}}}$ и ${\displaystyle {R_{G}}}$ . Тогда

${\displaystyle R_{F+G}\geq \min\{R_{F},\,R_{G}\}}$

${\displaystyle R_{F\cdot G}\geq \min\{R_{F},R_{G}\}}$

${\displaystyle R_{F'}\,=\,R_{F}}$

Если у ряда ${\displaystyle G(x)}$ свободный член нулевой, тогда

${\displaystyle R_{F\circ G}\geq {R_{F} \over {R_{F}+1}}R_{G}}$

Вопрос о сходимости ряда в точках границы ${\displaystyle {|x|=R}}$ круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

• Признак Д’Аламбера : Если при ${\displaystyle n>N}$ и ${\displaystyle \alpha >1}$ выполнено неравенство

${\displaystyle \left|{a_{n} \over a_{n+1}}\right|\geq R\left(1+{\alpha \over n}\right)}$

тогда степенной ряд ${\displaystyle \Sigma \,a_{n}x^{n}}$ сходится во всех точках окружности ${\displaystyle {|x|=R}}$ абсолютно и равномерно по ${\displaystyle x}$ .

• Признак Дирихле : Если все коэффициенты степенного ряда ${\displaystyle \Sigma \,a_{n}x^{n}}$ положительны и последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности ${\displaystyle {|x|=1}}$ , кроме, быть может, точки ${\displaystyle {x=1}}$ .

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра ${\displaystyle x}$ является предметом изучения теории аналитических функций .

См.также

• Круг сходимости
• Теорема Адамара о степенном ряде

Вариации и обобщения

Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:

${\displaystyle F(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum \limits _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}=0}^{+\infty }a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{n}^{k_{n}}}$

или, в мультииндексных обозначениях,

${\displaystyle F(X)=\sum \limits _{\alpha }a_{\alpha }X^{\alpha },}$

где ${\displaystyle X}$ — это вектор ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ , ${\displaystyle \alpha }$ — мультииндекс ${\displaystyle \alpha =(k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})}$ , ${\displaystyle X^{\alpha }}$ — одночлен ${\displaystyle X^{\alpha }=X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{n}^{k_{n}}}$ . Пространство степенных рядов от ${\displaystyle n}$ переменных и коэффициентами из ${\displaystyle R}$ обозначается ${\displaystyle R[[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]]}$ . В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и ${\displaystyle n}$ -местной суперпозиции. Пусть

${\displaystyle F(X)=\sum \limits _{\alpha }a_{\alpha }X^{\alpha },G(X)=\sum \limits _{\alpha }b_{\alpha }X^{\alpha },H(X)=\sum \limits _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }.}$

Тогда:

${\displaystyle H=F+G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_{\alpha }=a_{\alpha }+b_{\alpha }}$

${\displaystyle H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_{\alpha }=\sum \limits _{\beta +\gamma =\alpha }a_{\beta }b_{\gamma }}$

${\displaystyle H={\partial F \over \partial X_{i}}\Leftrightarrow \forall (k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})\,c_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}=(k_{i}+1)a_{(k_{1},k_{2},\dots ,k_{i}+1,\dots ,k_{n})}}$

См.также

• Ряд Пюизё
• Теорема Харди — Литтлвуда