Interested Article - Бином Ньютона

Бино́м Нью́то́на формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

где биномиальные коэффициенты , — неотрицательное целое число .

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа ). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд .

Примеры:

Для быстрого разложения часто пользуются треугольником Паскаля .

Доказательство

Чтобы умножить скобки, нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Для получения степени нужно из скобок выбрать , а из оставшихся выбрать . Вариантов выбрать в первый раз столько же, сколько и скобок, то есть . Затем, соответственно, , и так далее до на -м шаге. Однако для каждого варианта посчитаются и все его порядковые перестановки, число которых . Нормируя, получаем в точности . Ниже приводится доказательство по индукции.


Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции в ряд Тейлора :

где может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле

При этом ряд

сходится при .

В частности, при и получается тождество

Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел , выводим тождество

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером .

Мультиномиальная теорема

Бином Ньютона может быть обобщён до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

где

суть Мультиномиальные коэффициенты . Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна (то есть по всем композициям числа длины ). При использовании полинома Ньютона считается , что выражения , даже если .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по , либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла полиномиального коэффициента.

При , выражая , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть и , тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

История

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник , позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль , описавший её в XVII веке . Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю , жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер , выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически) . Например, в романе « Мастер и Маргарита » М. А. Булгакова : «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ , в четвёртой палате».

В повести « Последнее дело Холмса » Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти , в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»

См. также

Примечания

  1. Успенский В. А. // Новое литературное обозрение . — 1997. — № 24 . 14 июня 2011 года.

Литература

  • // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.

Ссылки

Источник —

Same as Бином Ньютона