Аналитическая ( голоморфная ) функция — функция, которая может быть представлена степенным рядом :

${\displaystyle \sum _{i}a_{i}x^{i},}$

где ${\textstyle \forall {i}}$ ${\textstyle a_{i}}$ — комплексные коэффициенты, не зависящие от комплексной переменной ${\textstyle x}$ .

Аналитическая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция ${\displaystyle f}$ называется аналитической в точке ${\displaystyle z_{0}}$ , если сужение функции ${\displaystyle f}$ на некоторую окрестность ${\displaystyle z_{0}}$ является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке ${\displaystyle z_{0}}$ , то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки ${\displaystyle z_{0}}$ .

Однозначная аналитическая функция одной комплексной переменной — это функция ${\displaystyle f(z)}$ , для которой в некоторой односвязной области ${\displaystyle A\subset \mathbb {C} }$ , называемой областью аналитичности, выполняется одно из четырёх равносильных условий:

1. Ряд Тейлора функции в каждой точке ${\displaystyle z\in A}$ сходится, и его сумма равна ${\displaystyle f(z)}$ ( аналитичность в смысле Вейерштрасса ).
2. В каждой точке ${\displaystyle z=x+iy\in A}$ выполняются условия Коши — Римана ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$ Здесь ${\displaystyle u(z)}$ и ${\displaystyle v(z)}$ — вещественная и мнимая части рассматриваемой функции. ( Аналитичность в смысле Коши — Римана .)
3. Интеграл ${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0}$ для любой замкнутой кривой ${\displaystyle \Gamma \subset A}$ ( аналитичность в смысле Коши ).
4. Функция ${\displaystyle f(z)}$ является голоморфной в области ${\displaystyle A}$ . То есть ${\displaystyle f(z)}$ комплексно дифференцируема в каждой точке ${\displaystyle z\in A}$ .

В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность этих определений.

Свойства

• Арифметические свойства

Если ${\displaystyle f(z)}$ и ${\displaystyle g(z)}$ аналитичны в области ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$

1. Функции ${\displaystyle f(z)\pm g(z)}$ , ${\displaystyle f(z)\cdot g(z)}$ и ${\displaystyle f(g(z))}$ аналитичны в ${\displaystyle G}$ .
2. Если ${\displaystyle g(z)}$ в области ${\displaystyle G}$ не обращается в ноль, то ${\displaystyle {\frac {f(z)}{g(z)}}}$ будет аналитична в ${\displaystyle G}$
3. Если ${\displaystyle f'(z)}$ в области ${\displaystyle G}$ не обращается в ноль, то ${\displaystyle f^{-1}(z)}$ будет аналитична в ${\displaystyle G}$ .

• Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своей области аналитичности. Для комплексных функций одной переменной верно и обратное.

Некоторые свойства аналитических функций близки к свойствам многочленов , что, впрочем, и неудивительно — определение аналитичности в смысле Вейерштрасса свидетельствует о том, что аналитические функции — в некотором роде предельные варианты многочленов. Допустим, согласно основной теореме алгебры любой многочлен может иметь нулей числом не более его степени. Для аналитических функций справедливо аналогичное утверждение, вытекающее из теоремы единственности в альтернативной форме:

• Если множество нулей аналитической в односвязной области функции имеет в этой области предельную точку , то функция тождественно равна нулю.
• Для функции от нескольких действительных переменных аналитичности по каждой из переменных недостаточно для аналитичности функции. Для функции от нескольких комплексных переменных аналитичности по каждой из переменных достаточно для аналитичности функции ( Теорема Хартогса ).

Примеры

Все многочлены от z являются аналитическими функциями на всей плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Далее, аналитическими, хотя и не на всей комплексной плоскости, являются рациональные функции , показательная функция , логарифм , тригонометрические функции , обратные тригонометрические функции и многие другие классы функций, а также суммы, разности, произведения, частные аналитических функций.

Примеры неаналитических функций на ${\displaystyle \mathbb {C} }$ включают

1. ${\displaystyle f(z)=|z|}$ ,
2. ${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$ ,

поскольку они не имеют комплексной производной ни в одной точке. При этом сужение ${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$ на вещественную ось будет аналитической функцией вещественного переменного (так как оно полностью совпадает с сужением функции ${\displaystyle f(z)=z}$ ).

См. также

• Теорема Хартогса
• Неравенство Лоясевича

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М. : Наука , 1969 . — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М. : Наука , 1980 . — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М. — Л. : Государственное издательство, 1927 . — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М. : Наука , 1968 . — 472 с.
• (англ.) ( . (англ.) . — 2nd. — Springer-Verlag , 1978. — ( 11). — ISBN 978-0-387-90328-6 .
• (англ.) ( ; (англ.) ( . A Primer of Real Analytic Functions (англ.) . — 2nd. — (англ.) ( , 2002. — ISBN 0-8176-4264-1 .

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• (англ.)

Примечания

1. Гл. ред. Прохоров Ю. В. , ред. кол.: Адян С. И. , Бахвалов Н. С. , Битюцков В. И. , Ершов А. П. , Кудрявцев Л. Д. , Онищик А. Л. , Юшкевич А. П. (рус.) / под ред. Ю. В. Прохорова. — М. : Издательство «Советская энциклопедия», 1988. — С. 69, 567. — 850 с. 30 октября 2023 года.