Interested Article - Фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность , или сходящаяся в себе последовательность , или последовательность Коши последовательность точек метрического пространства такая, что для любого ненулевого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии меньшем, чем заданное.

Определение

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной , если она удовлетворяет условию Коши :

Для всякого найдётся такое натуральное , что для всех .

Связанные определения

  • Метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого же пространства, называется полным .

Свойства

  • Каждая сходящаяся последовательность является фундаментальной, но не каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу из своего пространства.
  • Метрическое пространство является полным тогда и только тогда, когда всякая система вложенных замкнутых шаров с неограниченно убывающим радиусом имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки.
  • Если последовательность фундаментальна и содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама последовательность сходится.
  • Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.

Литература

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М. : Наука, 2004. — 7-е изд.
  • Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 3, — М. : Наука, 1970.
Источник —

Same as Фундаментальная последовательность