Ряд Мерка́тора (иногда называемый ряд Ньютона — Меркатора ) в математическом анализе — ряд Тейлора для функции натурального логарифма , впервые опубликованный немецким математиком Николасом Меркатором (Кауфманом) в трактате « Logarithmotechnia » ( 1668 ):

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}}$

Лейбниц за это открытие назвал Меркатора «первым изобретателем бесконечных рядов»; до Меркатора европейские математики рассматривали почти исключительно числовые ряды , не содержащие переменных. Независимо от Меркатора этот ряд открыл Исаак Ньютон . В работе « Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых » (1671, опубликован посмертно в 1736 году) Ньютон выразил удивление, что до Меркатора никто « не направил своего внимания на приложение к буквам [переменным] принципов недавно открытого учения о десятичных дробях, особенно потому, что при этом открывается путь к более трудным и более важным открытиям » .

Ряд Меркатора способствовал подъёму массового интереса к использованию бесконечных рядов и формированию общей теории рядов и функций. К концу XVII века эта тема существенно расширилась и превратилась в математический анализ .

Ряд Меркатора сходится при ${\displaystyle -1<x\leqslant 1,}$ хотя сходимость довольно медленная. При ${\displaystyle |x|<1}$ ряд сходится абсолютно .

История

В 1647 году Грегуар де Сен-Венсан обнаружил связь логарифма и площади под гиперболой (см. рисунок). В 1650 году, исходя из геометрических соображений, итальянский математик Пьетро Менголи опубликовал в трактате « Новые арифметические квадратуры » разложение ${\displaystyle \ln 2}$ в бесконечный ряд :

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}\dots }$

В 1657 году эту формулу независимо опубликовал английский математик Уильям Браункер в своей статье « Квадратура гиперболы с помощью бесконечного ряда рациональных чисел » .

В 1668 году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман), проживавший тогда в Лондоне, в трактате « Logarithmotechnia » впервые рассмотрел разложение в ряд не числа, а функции :

${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\dots }$

Далее он нашёл площади под левой и правой частями этого разложения (в современных терминах, проинтегрировал их) и получил «ряд Меркатора», который выписал для значений ${\displaystyle x=0{,}1}$ и ${\displaystyle x=0{,}21}$ . Сходимость ряда Меркатор не исследовал, но сразу после выхода в свет труда Меркатора Джон Валлис указал, что ряд пригоден при ${\displaystyle 0\leqslant x<1}$ (отрицательными числами тогда пренебрегали).

Как обнаружили историки науки, Ньютон вывел такой же ряд в 1665 году, но, по своему обыкновению, не позаботился о публикации . Глубокие исследования Ньютона в области бесконечных рядов были опубликованы только в 1711 году, в трактате « Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов » .

Вариации и обобщения

Ряд Меркатора непригоден для реальных расчётов, так как сходится очень медленно, причём в ограниченном интервале. Но уже в год публикации Меркатора (1668) Джеймс Грегори предложил модифицированный его вариант:

${\displaystyle \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)}$

Этот ряд сходится гораздо быстрее, а логарифмируемое выражение уже может представить любое положительное число ${\displaystyle z={\frac {1+x}{1-x}}}$ , ибо тогда ${\displaystyle x={\frac {z-1}{z+1}}}$ по абсолютной величине меньше единицы . Например, сумма первых 10 членов ряда Меркатора для ${\displaystyle \ln 2}$ равна ${\displaystyle 0{,}646,}$ здесь только первый десятичный знак верен, в то время как ряд Грегори даёт значение ${\displaystyle 0{,}6931471805498,}$ в котором верны 10 знаков из 13 .

На комплексной плоскости ряд Меркатора приобретает обобщённый вид:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots }$

Это ряд Тейлора для комплексной функции ${\displaystyle f(z)=-\ln(1-z),}$ где символ ln обозначает главную ветвь (главное значение) комплексного натурального логарифма . Данный ряд сходится в круге ${\displaystyle |z|\leqslant 1,z\neq 1}$ .

Примечания

Литература

• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. II.

Ссылки

• Абельсон И. Б. // Рождение логарифмов. — М. — Л. : Гостехиздат, 1948. — 231 с.
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .