Ряд из натуральных чисел — числовой ряд (бесконечная сумма элементов), членами которого являются последовательные натуральные числа : ${\displaystyle 1+2+3+4+\ldots }$ ; при этом n -я частичная сумма ряда является треугольным числом :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}},}$

которое неограниченно растёт при стремлении ${\displaystyle n}$ к бесконечности . Из-за того, что последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела , ряд расходится , то есть не имеет конечной суммы.

Из-за расходимости ряд не имеет никакой значимой ценности для традиционных математических подходов. Но при некотором уровне манипулирования можно получить нетривиальные результаты, находящие применение в комплексном анализе , квантовой теории поля ^{[ источник не указан 2008 дней ]} и теории струн .

Специальные методы суммирования

В математике существуют методы суммирования, которые позволяют присвоить определённые числовые значения (конечные) даже расходящимся рядам. Одним из таких способов является метод, основанный на регуляризации аналитического продолжения дзета-функции Римана . Другим популярным вариантом является . Многие из подобных методов присваивают ряду одинаковое значение в виде отрицательной дроби:

${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}}$

Частичные суммы

Частичными суммами натурального ряда являются 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. Таким образом, n -я частичная сумма выражается формулой

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Это выражение было известно ещё Пифагору в VI веке до нашей эры . Числа такого вида называются треугольными, так как они могут быть представлены в виде треугольника.

Бесконечная последовательность треугольных чисел стремится к ${\displaystyle +\infty }$ и, следовательно, бесконечная сумма натурального ряда также стремится к ${\displaystyle +\infty }$ . Такой результат является следствием невыполнения необходимого условия сходимости числового ряда .

Суммируемость

В сравнении с другими классическими расходящимися рядами, натуральному ряду сложнее приписать имеющее смысл некоторое конечное числовое значение. Существует множество методов суммирования, некоторые из которых являются более устойчивыми и мощными. Так, например, суммирование по Чезаро является широко известным методом, который суммирует умеренно расходящийся ряд Гранди 1 − 1 + 1 − 1 + … и приписывает ему конечное значение 1/2. Суммирование методом Абеля представляет собой более мощный метод, который, кроме ряда Гранди, позволяет также суммировать более сложный знакочередующийся ряд натуральных чисел и присвоить ему значение 1/4.

В отличие от упомянутых выше рядов, как суммирование по Чезаро , так и метод Абеля неприменимы к натуральному ряду. Эти методы работают только со сходящимися и гармоническими рядами и не могут быть использованы для ряда, частичные суммы которого стремятся к +∞ . Большинство элементарных определений суммы расходящегося ряда являются линейными и устойчивыми, а любой линейный и устойчивый метод не может присвоить натуральному ряду конечное значение.

Следовательно, для этого случая возможно применение только специальных методов, таких как регуляризация дзета-функцией или суммирование Рамануджана.

Эвристические предпосылки

В главе 8 первого сборника своих трудов Рамануджан показал, что «1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12», используя два способа . Ниже излагается более простой метод, состоящий из двух этапов.

Первое ключевое наблюдение состоит в том, что ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … похож на знакочередующийся ряд натуральных чисел 1 − 2 + 3 − 4 + … . Несмотря на то, что этот ряд также является расходящимся, с ним намного проще работать. Существует несколько классических способов присвоить конечное значение этому ряду, известных ещё с XVIII века.

Для того, чтобы привести ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … к виду 1 − 2 + 3 − 4 + … , мы можем вычесть 4 из второго члена, 8 из четвёртого члена, 12 из шестого и т. д. Общая величина, которую нужно вычесть, выражается рядом 4 + 8 + 12 + 16 + … , который получается умножением исходного ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … на 4. Эти выражения можно записать в алгебраической форме. Что бы из себя ни представляла «сумма», введём для неё обозначение c = 1 + 2 + 3 + 4 + … , умножим полученное уравнение на 4 и вычтем второе из первого:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}c&{}={}&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots ,\\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots ,\\-3c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots .\end{alignedat}}}$

Второе ключевое наблюдение заключается в том, что ряд 1 − 2 + 3 − 4 + … является разложением в степенной ряд функции 1/(1 + x ) ² при x , равном 1. Соответственно, Рамануджан заключает:

${\displaystyle -3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}$

Поделив обе части на −3, получаем c = −1/12.

Строго говоря, существует неоднозначность при работе с бесконечными рядами в случае использования методов, предназначенных для конечных сумм (наподобие тех методов, что были использованы выше), в особенности если эти бесконечные ряды расходятся. Неоднозначность заключается в том, что если вставить ноль в любое место в расходящемся ряде, существует вероятность получить противоречивый результат. Например, действие 4 c = 0 + 4 + 0 + 8 + … противоречит свойствам сложения .

Одним из способов обойти эту неопределённость и тем самым ограничить позиции, куда можно вставить ноль, является присвоение каждому члену ряда значения некоторой функции. Для ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … , каждый член n представляет собой натуральное число, которое может быть представлено в виде функции n ^{− s} , где s — некоторая комплексная переменная. Используя такое представление, можно гарантировать, что все члены ряда последовательны. Таким образом, присвоив s значение −1, можно выразить рассматриваемый ряд в строгом виде. Реализация этого способа носит название регуляризации дзета-функцией .

Регуляризация дзета-функцией

В этом методе, ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n}$ заменяется рядом ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}}$ . Последний ряд является частным случаем ряда Дирихле . Если действительная часть s больше 1, ряд Дирихле сходится, и его сумма представляет собой дзета-функцию Римана ζ ( s ). С другой стороны, если действительная часть s меньше или равна 1, ряд Дирихле расходится. В частности, ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ... , который получается подстановкой s = −1, не является сходящимся. Преимущества перехода к дзета-функции Римана заключается в том, что, используя метод аналитического продолжения , она может быть определена для s ⩽ 1. Следовательно, мы можем получить значение регуляризованной дзета-функции ζ (−1) = −1/12.

Существует несколько способов доказать, что ζ (−1) = −1/12. Один из методов использует связь между дзета-функцией Римана и η ( s ). Эта-функция выражается знакопеременным рядом Дирихле, согласуясь тем самым с ранее представленными эвристическими предпосылками. Тогда как оба ряда Дирихле сходятся, следующие тождества верны:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}\zeta (s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots ,&\\2\cdot 2^{-s}\zeta (s)&{}={}&2\cdot 2^{-s}&&{}+2\cdot 4^{-s}&&{}+2\cdot 6^{-s}+\cdots ,&\\(1-2^{1-s})\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s).\end{alignedat}}}$

Тождество ${\displaystyle (1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)}$ остаётся справедливым если мы продолжим обе функции аналитически в область значений s , где вышезаписанные ряды расходятся. Подставляя s = −1 , получим −3 ζ (−1) = η (−1). Отметим, что вычисление η (−1) является более простой задачей, так как значение эта-функции выражается значением суммы Абеля соответствующего ряда и представляет собой односторонний предел :

${\displaystyle -3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\nearrow 1}(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots )=\lim _{x\nearrow 1}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}$

Поделив обе части выражения на −3, получаем ζ (−1) = −1/12.

Суммирование методом Рамануджана

Суммирование ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ... методом Рамануджана также позволяет получить значение −1/12. В своём втором письме к Х. Г. Харди , датированном 27 февраля 1913, Рамануджан пишет :

Уважаемый Сэр, я с большим удовольствием прочёл ваше письмо от 8 февраля 1913 года. Я ожидал, что вы ответите мне в том же стиле, что и профессор математики из Лондона, который посоветовал мне внимательно изучить «Бесконечные ряды» Томаса Бромвича и не попадать в ловушку, которую таят расходящиеся ряды. … Я ответил ему, что, согласно моей теории, сумма бесконечного числа членов ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ... = −1/12 . Узнав это, вы сию же минуту укажете в направлении психиатрической лечебницы. Уверяю, вы не сможете проследить нить рассуждений в моём доказательстве этого факта, если я попытаюсь изложить их в единственном письме.

Метод суммирования Рамануджана заключается в изолировании постоянного члена в формуле Эйлера — Маклорена для частичных сумм ряда. Для некоторой функции f , классическая сумма Рамануджана для ряда ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f(k)}$ определена как

${\displaystyle c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0),}$

где f ^{(2 k −1)} представляет собой (2 k −1)-ю производную функции f и B _{2 k} является 2 k -м числом Бернулли : B ₂ = 1/6 , B ₄ = −1/30 и т. д. Принимая f ( x ) = x , первая производная f равна 1, а все остальные члены стремятся к нулю, поэтому:

${\displaystyle c=-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2!}}=-{\frac {1}{12}}.}$

Для избежания противоречий современная теория метода суммирования Рамануджана требует, чтобы функция f являлась «регулярной» в том смысле, что её производные высших порядков убывают достаточно быстро для того, чтобы оставшиеся члены в формуле Эйлера — Маклорена стремились к 0. Рамануджан неявно подразумевал это свойство. Требование регулярности помогает избежать использования метода суммирования Рамануджана для рядов типа 0 + 2 + 0 + 4 + … потому, что не существует регулярной функции, которая выражалась бы значениями такого ряда. Такой ряд должен интерпретироваться с использованием регуляризации дзета-функцией.

Несостоятельность устойчивых линейных методов суммирования

Линейный и устойчивый метод суммирования не в состоянии присвоить конечное значение ряду 1 + 2 + 3 + … (Устойчивый означает, что добавление члена в начало ряда увеличивает сумму ряда на величину этого члена.) Это утверждение может быть продемонстрировано следующим образом. Если

1 + 2 + 3 + … = x ,

тогда, добавляя 0 к обеим частям, получаем

0 + 1 + 2 + … = 0 + x = x ,

исходя из свойства устойчивости. Вычитая нижний ряд из верхнего, получаем

1 + 1 + 1 + … = x − x = 0,

исходя из свойства линейности. Добавляя 0 к обеим частям повторно, получаем

0 + 1 + 1 + 1 + … = 0

и вычитая два последних ряда, приходим к

1 + 0 + 0 + … = 0,

что противоречит свойству устойчивости.

Методы, использованные выше, для суммирования 1 + 2 + 3 + … являются либо только устойчивыми, либо только линейными. Например, существует два разных метода, называемых регуляризацией дзета-функцией. Первый является устойчивым, но нелинейным и определяет сумму a + b + c + … множества чисел как значение аналитического продолжения выражения 1/ a ^s + 1/ b ^s + 1/ c ^s + при s = −1. Второй метод линейный, но неустойчивый и определяет сумму последовательности чисел как значение аналитического продолжения выражения a /1 ^s + b /2 ^s + c /3 ^s при s = 0. Оба метода присваивают ряду 1 + 2 + 3 + … значение суммы ζ(−1) = −1/12.

Применение в физике

Значение −1/12 встречается в теории бозонных струн при попытке рассчитать возможные энергетические уровни струны, а именно низший энергетический уровень .

Регуляризация ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … также встречается при расчёте эффекта Казимира для скалярного поля в одномерном пространстве. Похожие вычисления возникают для трёхмерного пространства, однако в этом случае вместо дзета-функции Римана используются реальные ^{[ уточнить ]} аналитические ряды Эйзенштейна .

Примечания

Список литературы

• Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin. Ramanujan: letters and commentary (неопр.) . — American Mathematical Society, 1995. — ISBN 0-8218-0287-9 .
• Hardy, G. H. Divergent Series (англ.) . — Oxford University Press , 1949.
• Zee, A. Quantum field theory in a nutshell (неопр.) . — Princeton UP , 2003. — ISBN 0-691-01019-6 .

Ссылки

• , , ,
  • — By John Baez
  • John Baez . (неопр.) (19 сентября 2008).
• by
• by
• video with over a million views
  • includes demonstration of Euler’s method.
  • response to comments about video by
• by Brydon Cais from University of Arizona