Ряд Неймана — это ряд вида:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T^{n},}$

где ${\displaystyle T}$ — это некоторый оператор . В этом случае ${\displaystyle T^{n}}$ означает суперпозицию из ${\displaystyle n}$ одинаковых операторов ${\displaystyle T}$ . Если же ${\displaystyle T}$ — элемент кольца , то ${\displaystyle T^{n}}$ будет означать ${\displaystyle n}$ -ю степень элемента ${\displaystyle T}$ .

Ряд Неймана является обобщением понятия суммы геометрической прогрессии .

Основным свойством ряда Неймана является то, что

${\displaystyle (I-T)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }T^{n},}$

где ${\displaystyle I}$ — единичный элемент. В случае операторов для этого достаточно того, чтобы линейный ограниченный оператор ${\displaystyle T}$ , действующий в банаховом пространстве ${\displaystyle X}$ , имел норму либо спектральный радиус, меньший единицы. Так, в случае матриц данный ряд позволяет обратить матрицу вида ${\displaystyle I-F}$ , где ${\displaystyle \lambda _{max}(F)<1}$ — максимальное собственное значение матрицы ${\displaystyle F}$ .

В случае кольца с единицей конструкция, аналогичная ряду Неймана, позволяет обращать элементы вида ${\displaystyle 1-p}$ , где ${\displaystyle p}$ — нильпотент . В этом случае ряд Неймана принимает вид конечной суммы

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m-1}p^{n},}$

где ${\displaystyle m}$ — индекс нильпотента ${\displaystyle p}$ .

См. также

• Ряд Лиувилля — Неймана