Дан ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ .

1. Доказательство сходимости. Пусть для всех ${\displaystyle n}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\geqslant \delta >0}$ .

Домножив обе части этого неравенства на ${\displaystyle a_{n+1}}$ , получим:

${\displaystyle c_{n}\cdot a_{n}-c_{n+1}\cdot a_{n+1}\geqslant \delta \cdot a_{n+1}}$ ,

(*)

а поскольку ${\displaystyle \delta >0}$ , то:

${\displaystyle c_{n}\cdot a_{n}-c_{n+1}\cdot a_{n+1}>0}$ ,

${\displaystyle c_{n}\cdot a_{n}>c_{n+1}\cdot a_{n+1}}$ .

Отсюда следует, что последовательность ${\displaystyle c_{n}\cdot a_{n}}$ монотонно убывает и,следовательно, стремится к конечному пределу (так как она ограничена снизу нулём). Соответственно, сходится и последовательность ${\displaystyle (c_{1}\cdot a_{1}-c_{n+1}\cdot a_{n+1}}$ ), которая является суммой ${\displaystyle n}$ первых членов ряда

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}\cdot a_{n}-c_{n+1}\cdot a_{n+1})}$ ,

который в силу этого также сходится. Но тогда из неравенства (*), по первой теореме сравнения , следует, что сходится ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\delta a_{n+1}}$ . Тогда, поскольку ${\displaystyle a_{n}\leqslant \delta a_{n+1}}$ , должен сходиться и данный ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ .

Примечание . При доказательстве сходимости не используется условие, что ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}}$ расходится.

2. Доказательство расходимости. Пусть теперь для некоторого ${\displaystyle n>N}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle K_{n}=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\leqslant 0}$

или

${\displaystyle c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\leqslant c_{n+1}}$ .

Разделив обе части этого неравенства на ${\displaystyle c_{n+1}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}$ получим:

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geqslant {\frac {\frac {1}{c_{n+1}}}{\frac {1}{c_{n}}}}}$ .

Так как по условиям теоремы ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}}$ предполагается расходящимся, то в силу теоремы сравнения , должен расходиться и данный ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ . ■