Признак Бертрана ( де Моргана — Бертрана ) — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный в 1842 году Жозефом Бертраном . В своём выводе Бертран ссылается на труд Огастеса де Моргана «The Differential and Integral Calculus», изданный в 1839 году.

Формулировка

Если существует такое ${\displaystyle \delta >0}$ , что, начиная с некоторого номера ${\displaystyle n}$ , выполняется неравенство

${\displaystyle B_{n}=\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)\geqslant 1+\delta ,}$

то ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится.

Если же ${\displaystyle B_{n}\leqslant 1}$ , начиная с некоторого ${\displaystyle n}$ , то ряд расходится.

Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

${\displaystyle B=\lim _{n\to \infty }B_{n}}$

то при ${\displaystyle B>1}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle B<1}$ — расходится.

Замечание. Если ${\displaystyle B=1}$ , то признак Бертрана не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Признак Бертрана чувствительнее признака Раабе и может быть использован для крайне медленно сходящихся рядов.

См. также

• Признак Раабе

Примечания

Литература

• Бертрана признак — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .