1. Пусть для ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ выполняется условие:

${\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\right)\geqslant \delta >1}$ .

Преобразуем это неравенство к виду:

${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n}}\right)^{n}}$ .

Поскольку всегда можно найти достаточно большое ${\displaystyle n>N}$ такое, что:

${\displaystyle 1-{\frac {\delta \ln n}{n}}>0}$ ,

то можно перейти к выражению:

${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\delta \ln n}{n}}\right)\right)}$ .

Применив разложение функции ${\displaystyle \ln(1-x)}$ в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant \exp \left(-\delta \ln n-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n}}+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\right)\right)}$

Вынесем первое слагаемое из-под экспоненты:

${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac {1}{n^{\delta }}}\exp \left(-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n}}+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n}}\right)\right)}$

Теперь здесь применим разложение в ряд Маклорена для функции ${\displaystyle e^{x}}$ :

${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac {1}{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{\delta +1}}}+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n^{\delta +1}}}\right)}$

Пренебрегая бесконечно малыми и, учитывая, что ${\displaystyle \delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{\delta +1}}}\geqslant 0}$ , получаем:

${\displaystyle 0\leqslant a_{n}\leqslant {\frac {1}{n^{\delta }}}-\delta ^{2}{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{\delta +1}}}\leqslant {\frac {1}{n^{\delta }}}}$

Последнее, согласно признаку сравнения , означает, что рассматриваемый ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится и расходится одновременно с рядом ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\delta }}}}$ ( ряд Дирихле ), который сходится при ${\displaystyle \delta >1}$ и расходится при ${\displaystyle \delta \leqslant 1}$ .

2. Пусть для ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ выполняется условие:

${\displaystyle {\frac {n}{\ln n}}\cdot \left(1-{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\right)\leqslant 1}$

Преобразуем это неравенство к виду:

${\displaystyle a_{n}\geqslant \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)^{n}=\exp \left(n\ln \left(1-{\frac {\ln n}{n}}\right)\right)}$ .

Дважды применив разложение в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

${\displaystyle a_{n}\geqslant {\frac {1}{n}}-{\frac {\ln ^{2}n}{2n^{2}}}+o\left({\frac {\ln ^{2}n}{n^{2}}}\right)=o\left({\frac {1}{n}}\right)}$

То есть согласно признаку сравнения , рассматриваемый ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ расходится, поскольку расходится ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$ ( гармонический ряд ). ■