Interested Article - Признак Ермакова

Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым . Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей «чувствительностью». Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория сходимости рядов» («Математический Сборник», 1870 г. и «Bullet. des sciences mathém. et astronom.», 2-me série, t. III), «Новый признак сходимости и расходимости бесконечных знакопеременных рядов» («Университетские Известия университета св. Владимира» за 1872).

Формулировка

Пусть для функции выполняется:

  1. (функция принимает только положительные значения);
  2. функция монотонно убывает при .

Тогда ряд сходится, если при выполняется неравенство:

,

где .

Если же при , то ряд расходится.


Формулировка в предельной форме

Если существует предел:

то при ряд сходится, а при — расходится.


Обобщение

Пусть для функции выполняется:

  1. (функция принимает только положительные значения);
  2. функция монотонно убывает при .

Возьмём некоторую функцию , которая:

  1. (функция принимает только положительные значения);
  2. монотонно возрастает;
  3. имеет непрерывную переменную.

Тогда ряд сходится, если выполняется неравенство:

.

Если же

,

то ряд расходится.


Примечания

  1. Фихтенгольц Г. М. . — М. : Наука, 1970.
  2. A.D. Polyanin, A.V. Manzhirov. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. — 2006. — С. 340. — 1544 с. — ISBN 978-1420010510 .

Литература

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Источник —

Same as Признак Ермакова