1. По условиям теоремы, последовательность членов ${\displaystyle \{f(n)\}}$ является монотонно убывающей, т.е. любой член последовательности должен быть не меньше каждого последующего, а значит сумма ${\displaystyle m}$ членов, начиная с ${\displaystyle f(n)}$ , не превосходит ${\displaystyle m\cdot f(n)}$ :

${\displaystyle \sum _{i=n}^{n+m-1}f(i)\leq m\cdot f(n)}$

Сгруппируем члены ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ и, используя это свойство убывающей последовательности, получим:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }f(n)&=f(1)+\underbrace {f(2)+f(3)} _{\leq f(2)+f(2)}+\underbrace {f(4)+f(5)+f(6)+f(7)} _{\leq f(4)+f(4)+f(4)+f(4)}+\cdots +\underbrace {f(2^{n})+f(2^{n}+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1)} _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+\cdots +f(2^{n})}+\cdots \\&\leq f(1)+2f(2)+4f(4)+\cdots +2^{n}f(2^{n})+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n}).\end{aligned}}}$

То есть, если ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$ сходится, то согласно признаку сравнения ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ тем более сходится.

2. Аналогично:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=\underbrace {f(1)+f(2)} _{\leq f(1)+f(1)}+\underbrace {f(2)+f(4)+f(4)+f(4)} _{\leq f(2)+f(2)+f(3)+f(3)}+\cdots +\underbrace {f(2^{n})+f(2^{n+1})+\cdots +f(2^{n+1})} _{\leq f(2^{n})+f(2^{n})+f(2^{n}+1)+f(2^{n}+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1)}+\cdots \\&\leq f(1)+f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3)+\cdots +f(n)+f(n)+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).\end{aligned}}}$

То есть если ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$ расходится, то согласно признаку сравнения ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ тем более расходится.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n).}$

■