Теория вычетов одного комплексного переменного была в основном разработана
Коши
в 1825—1829 годы. Кроме него, важные результаты были получены
Эрмитом
,
Сохоцким
,
Линделёфом
. В
1887 году
Пуанкаре
обобщил
интегральную теорему Коши
и понятие вычета на случай двух переменных
, с этого момента и берёт своё начало многомерная теория вычетов. Однако оказалось, что обобщить это понятие можно различными способами.
Для обозначения вычета аналитической функции
в точке
применяется выражение
(от
лат.
residuum
). В русскоязычной литературе иногда обозначается как
.
В силу
голоморфности
функции
в малой проколотой
окрестности
точки
по
теореме Коши
величина
интеграла
не зависит от
при достаточно малых значениях этого параметра, так же как и от формы пути интегрирования. Важно только то, что путь является замкнутой
кривой
в области аналитичности функции, один раз охватывающей рассматриваемую точку и никаких других точек не принадлежащих области голоморфности
.
В некоторой окрестности точки
функция
представляется сходящимся
рядом Лорана
по степеням
. Нетрудно показать, что вычет совпадает с коэффициентом ряда
при
. Часто это представление принимают за определение вычета функции.
Вычет в «бесконечности»
Для возможности более полного изучения свойств функции вводится понятие вычета в бесконечности, при этом она рассматривается как функция на
сфере Римана
. Пусть бесконечно удалённая точка является изолированной особой точкой
, тогда
вычетом в бесконечности
называется комплексное число, равное:
.
Цикл интегрирования в этом определении ориентирован положительно, то есть против часовой стрелки.
Аналогично предыдущему случаю вычет в бесконечности имеет представление и в виде коэффициента лорановского разложения в окрестности бесконечно удалённой точки:
.
Вычет дифференциальной формы
С точки зрения анализа на
многообразиях
вводить специальное определение для некоторой выделенной точки сферы Римана (в данном случае, бесконечно удалённой) неестественно. Более того, такой подход затруднительно обобщить на более высокие
размерности
. Поэтому понятие вычета вводится не для функций, а для дифференциальных
-форм на сфере Римана:
.
На первый взгляд разницы в определениях никакой, однако теперь
— произвольная точка
, и смена знака при вычислении вычета в бесконечности достигается за счёт замены переменных в интеграле.
Логарифмические вычеты
Интеграл
называется логарифмическим вычетом функции
относительно контура
.
Согласно определению вычет может быть вычислен как контурный интеграл, однако в общем случае это довольно трудоёмко. Поэтому на практике пользуются, в основном, следствиями из определения.
В
устранимой особой точке
, так же как и в точке регулярности, вычет функции
равен нулю. В то же время для бесконечно удалённой точки это утверждение не верно. Например, функция
имеет в бесконечности нуль первого порядка, однако,
. Причина этого в том, что форма
имеет особенность как в нуле, так и в бесконечности.
В
полюсе
кратности
вычет может быть вычислен по формуле:
,
частный случай
.
Если функция
имеет простой полюс в точке
, где
и
голоморфные
в окрестности
функции,
,
, то можно использовать более простую формулу:
.
Очень часто, особенно в случае
существенно особых точек
, удобно вычислять вычет пользуясь разложением функции в ряд Лорана. Например,
, так как коэффициент при
равен 1.
Приложения теории вычетов
В большинстве случаев теория вычетов применяется для вычисления разного рода интегральных выражений с помощью
основной теоремы о вычетах
. Часто полезной в данных случаях бывает
лемма Жордана
.
Вычисления определённых интегралов от тригонометрических функций
1. Пусть функция
голоморфна в верхней полуплоскости
и на вещественной оси за исключением конечного числа
полюсов
, не лежащих на вещественной оси и
. Тогда
.
2. Пусть функция
голоморфна в верхней полуплоскости
и на вещественной оси за исключением конечного числа
полюсов
, не лежащих на вещественной оси,
и
. Тогда
При этом интегралы в левых частях равенств не обязаны существовать и поэтому понимаются только лишь в смысле
.