Действительная и мнимая части функции
L
i
2
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(x)}
Дилогари́фм
—
специальная функция
в
математике
, которая обозначается
L
i
2
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(z)}
и является частным случаем
полилогарифма
L
i
n
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}
при
n
=
2
{\displaystyle n=2}
. Дилогарифм определяется как
Li
2
(
z
)
=
−
∫
0
z
ln
(
1
−
t
)
t
d
t
=
∑
j
=
1
∞
z
j
j
2
.
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\frac {\ln(1-t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{j}}{j^{2}}}\;.}
Приведённое определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной
z
{\displaystyle z}
. Для действительных значений
z
=
x
{\displaystyle z=x}
у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от
1
{\displaystyle 1}
до
∞
{\displaystyle \infty }
. Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:
Im
[
Li
2
(
x
)
]
=
{
0
(
x
≤
1
)
;
−
π
ln
x
(
x
>
1
)
}
{\displaystyle \operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}(x)\right]=\left\{0\;\;(x\leq 1);\quad -\pi \ln {x}\;\;(x>1)\right\}}
Функцию
Li
2
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}
часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь
Леонарда Эйлера
, который рассмотрел эту функцию в 1768 году
. Иногда дилогарифм называют
функцией Спенса
(
Spence's function
) или
интегралом Спенса
в честь шотландского математика
Уильяма Спенса
(
William Spence
, 1777—1815)
, который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие
−
L
i
2
(
−
z
)
{\displaystyle -\mathrm {Li} _{2}(-z)}
и
L
i
2
(
1
−
z
)
{\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(1-z)}
. Название "дилогарифм" было введено Хиллом (
C.J. Hill
) в 1828 году.
Функциональные соотношения
Для дилогарифма существует ряд полезных функциональных соотношений,
Li
2
(
z
)
+
Li
2
(
−
z
)
=
1
2
Li
2
(
z
2
)
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li} _{2}(z^{2})}
Li
2
(
1
−
z
)
+
Li
2
(
1
−
1
z
)
=
−
1
2
ln
2
z
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}}
Li
2
(
z
)
+
Li
2
(
1
−
z
)
=
1
6
π
2
−
ln
z
ln
(
1
−
z
)
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-\ln z\;\ln(1-z)}
Li
2
(
−
z
)
+
Li
2
(
z
1
+
z
)
=
−
1
2
ln
2
(
1
+
z
)
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {z}{1+z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}{\ln ^{2}(1+z)}}
Li
2
(
−
z
)
−
Li
2
(
1
−
z
)
+
1
2
Li
2
(
1
−
z
2
)
=
−
1
12
π
2
−
ln
z
ln
(
1
+
z
)
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li} _{2}(1-z^{2})=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}-\ln z\ln(1+z)}
Li
2
(
−
z
)
+
Li
2
(
−
1
z
)
=
−
1
6
π
2
−
1
2
ln
2
z
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}}
Для действительных
x
>
1
{\displaystyle x>1}
,
Li
2
(
x
)
+
Li
2
(
1
x
)
=
1
3
π
2
−
1
2
ln
2
x
−
i
π
ln
x
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\textstyle {\frac {1}{3}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{x}-{\rm {i}}\pi \ln {x}}
Известны также соотношения, содержащие две независимые переменные — например, тождество Хилла:
Li
2
(
x
y
)
=
Li
2
(
x
)
+
Li
2
(
y
)
−
Li
2
(
x
(
1
−
y
)
1
−
x
y
)
−
Li
2
(
y
(
1
−
x
)
1
−
x
y
)
−
ln
(
1
−
x
1
−
x
y
)
ln
(
1
−
y
1
−
x
y
)
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(xy)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x(1-y)}{1-xy}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y(1-x)}{1-xy}}\right)-\ln \left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)\ln \left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)}
Частные значения
Li
2
(
0
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(0)=0}
Li
2
(
1
)
=
1
6
π
2
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}}
Li
2
(
−
1
)
=
−
1
12
π
2
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}}
Li
2
(
1
2
)
=
1
12
π
2
−
1
2
ln
2
2
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\textstyle {\frac {1}{2}}})={\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{2}}
Используя соотношение между функциями от
x
{\displaystyle x}
и
1
/
x
{\displaystyle 1/x}
, получаем
Li
2
(
2
)
=
1
4
π
2
−
i
π
ln
2
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(2)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi ^{2}-{\rm {i}}\pi \ln {2}}
Существует также ряд результатов для аргументов, связанных с
золотым сечением
ϕ
=
1
2
(
1
+
5
)
{\displaystyle \phi ={\textstyle {\frac {1}{2}}}(1+{\sqrt {5}})}
,
Li
2
(
−
ϕ
)
=
−
1
10
π
2
−
ln
2
ϕ
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-\phi )=-{\textstyle {\frac {1}{10}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }}
Li
2
(
−
ϕ
−
1
)
=
−
1
15
π
2
+
1
2
ln
2
ϕ
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-\phi ^{-1})=-{\textstyle {\frac {1}{15}}}\pi ^{2}+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{\phi }}
Li
2
(
ϕ
−
1
)
=
1
10
π
2
−
ln
2
ϕ
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-1})={\textstyle {\frac {1}{10}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }}
Li
2
(
ϕ
−
2
)
=
1
15
π
2
−
ln
2
ϕ
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-2})={\textstyle {\frac {1}{15}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }}
а также для дилогарифма мнимого аргумента,
Li
2
(
±
i
)
=
−
1
48
π
2
±
i
G
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\pm {\rm {i}})=-{\textstyle {\frac {1}{48}}}\pi ^{2}\pm {\rm {i}}G}
где
G
{\displaystyle G}
—
постоянная Каталана
.
Соотношения для частных значений
Li
2
(
1
3
)
−
1
6
Li
2
(
1
9
)
=
1
18
π
2
−
1
6
ln
2
3
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}}
Li
2
(
−
1
2
)
+
1
6
Li
2
(
1
9
)
=
−
1
18
π
2
+
ln
2
ln
3
−
1
2
ln
2
2
−
1
3
ln
2
3
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+\ln {2}\;\ln {3}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\ln ^{2}{3}}
Li
2
(
1
4
)
+
1
3
Li
2
(
1
9
)
=
1
18
π
2
+
2
ln
2
ln
3
−
2
ln
2
2
−
2
3
ln
2
3
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+2\ln {2}\;\ln {3}-2\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {2}{3}}}\ln ^{2}{3}}
Li
2
(
−
1
3
)
−
1
3
Li
2
(
1
9
)
=
−
1
18
π
2
+
1
6
ln
2
3
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+{\textstyle {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}}
Li
2
(
−
1
8
)
+
Li
2
(
1
9
)
=
−
1
2
ln
2
(
9
8
)
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}\!\left({\textstyle {\frac {9}{8}}}\right)}
36
Li
2
(
1
2
)
−
36
Li
2
(
1
4
)
−
12
Li
2
(
1
8
)
+
6
Li
2
(
1
64
)
=
π
2
{\displaystyle 36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)-36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+6\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{64}}}\right)={\pi }^{2}}
Функции, связанные с дилогарифмом
Функция Клаузена
Cl
2
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )}
Возникает при рассмотрении дилогарифма, аргумент которого находится на единичной окружности в комплексной плоскости,
Li
2
(
e
i
θ
)
=
1
6
π
2
−
1
4
θ
(
2
π
−
θ
)
+
i
Cl
2
(
θ
)
,
(
0
≤
θ
≤
2
π
)
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{4}}}\theta (2\pi -\theta )+{\rm {i}}\;\operatorname {Cl} _{2}(\theta ),\quad (0\leq \theta \leq 2\pi )}
Таким образом,
Cl
2
(
θ
)
=
Im
[
Li
2
(
e
i
θ
)
]
=
1
2
i
[
Li
2
(
e
i
θ
)
−
Li
2
(
e
−
i
θ
)
]
{\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i}}}}}\left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(e^{-{\rm {i}}\theta }\right)\right]}
Эта функция используется при вычислении объёмов в гиперболической геометрии, и она связана с функцией Клаузена (а следовательно и с дилогарифмом),
L
(
θ
)
=
−
∫
0
θ
d
τ
ln
|
cos
τ
|
=
−
1
2
Cl
2
(
π
−
2
θ
)
+
θ
ln
2
{\displaystyle L(\theta )=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d}}\tau \;\ln |\cos \tau |=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )+\theta \ln {2}}
Иногда используется другое определение функции Лобачевского,
Λ
(
θ
)
=
−
∫
0
θ
d
τ
ln
|
2
sin
τ
|
=
1
2
Cl
2
(
2
θ
)
{\displaystyle \Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d}}\tau \;\ln |2\sin \tau |={\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )}
Интегральный арктангенс
Ti
2
(
y
)
{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(y)}
Возникает при рассмотрении дилогарифма мнимого аргумента,
Li
2
(
i
y
)
=
1
4
Li
2
(
−
y
2
)
+
i
Ti
2
(
y
)
{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\operatorname {Li} _{2}(-y^{2})+{\rm {i}}\;\operatorname {Ti} _{2}(y)}
Таким образом,
Ti
2
(
y
)
=
Im
[
Li
2
(
i
y
)
]
=
1
2
i
[
Li
2
(
i
y
)
−
Li
2
(
−
i
y
)
]
{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(y)=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i}}}}}\left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)-\operatorname {Li} _{2}(-{\rm {i}}y)\right]}
Эта функция выражается через дилогарифмы как
χ
2
(
z
)
=
∑
j
=
1
∞
z
2
j
+
1
(
2
j
+
1
)
2
=
1
2
[
Li
2
(
z
)
−
Li
2
(
−
z
)
]
{\displaystyle \chi _{2}(z)=\sum \limits _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{2j+1}}{(2j+1)^{2}}}={\textstyle {\frac {1}{2}}}\left[\operatorname {Li} _{2}(z)-\operatorname {Li} _{2}(-z)\right]}
В частности,
χ
2
(
i
y
)
=
i
Ti
2
(
y
)
{\displaystyle \chi _{2}({\rm {i}}y)={\rm {i}}\operatorname {Ti} _{2}(y)}
.
Примечания
(неопр.)
. Дата обращения: 1 апреля 2019.
19 июня 2022 года.
(неопр.)
. Дата обращения: 7 февраля 2011.
28 октября 2019 года.
Ссылки
Leonard Lewin,.
Dilogarithms and associated functions. — Macdonald, London, 1958.
MR
:
Leonard Lewin,.
Polylogarithms and associated functions. — North Holland, New York, Oxford, 1981.
Don Zagier
,
Weisstein, Eric W.
(англ.)
на сайте Wolfram
MathWorld
.