Interested Article - Дилогарифм

Действительная и мнимая части функции

Дилогари́фм специальная функция в математике , которая обозначается и является частным случаем полилогарифма при . Дилогарифм определяется как

Приведённое определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной . Для действительных значений у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от до . Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:

Функцию часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь Леонарда Эйлера , который рассмотрел эту функцию в 1768 году . Иногда дилогарифм называют функцией Спенса ( Spence's function ) или интегралом Спенса в честь шотландского математика Уильяма Спенса ( William Spence , 1777—1815) , который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие и . Название "дилогарифм" было введено Хиллом ( C.J. Hill ) в 1828 году.

Функциональные соотношения

Для дилогарифма существует ряд полезных функциональных соотношений,

Для действительных ,

Известны также соотношения, содержащие две независимые переменные — например, тождество Хилла:

Частные значения

Используя соотношение между функциями от и , получаем

Существует также ряд результатов для аргументов, связанных с золотым сечением ,

а также для дилогарифма мнимого аргумента,

где постоянная Каталана .

Соотношения для частных значений

Функции, связанные с дилогарифмом

  • Функция Клаузена
Возникает при рассмотрении дилогарифма, аргумент которого находится на единичной окружности в комплексной плоскости,
Таким образом,
  • Функция Лобачевского
Эта функция используется при вычислении объёмов в гиперболической геометрии, и она связана с функцией Клаузена (а следовательно и с дилогарифмом),
Иногда используется другое определение функции Лобачевского,
  • Интегральный арктангенс
Возникает при рассмотрении дилогарифма мнимого аргумента,
Таким образом,
Эта функция выражается через дилогарифмы как
В частности, .

Примечания

  1. . Дата обращения: 1 апреля 2019. 19 июня 2022 года.
  2. . Дата обращения: 7 февраля 2011. 28 октября 2019 года.

Ссылки

  • Leonard Lewin,. Dilogarithms and associated functions. — Macdonald, London, 1958. MR :
  • Leonard Lewin,. Polylogarithms and associated functions. — North Holland, New York, Oxford, 1981.
  • Don Zagier ,
  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Источник —

Same as Дилогарифм