Двудо́льный граф или бигра́ф в теории графов — это граф, множество вершин которого можно разбить на две части таким образом, что каждое ребро графа соединяет вершину из одной части с какой-то вершиной другой части, то есть не существует рёбер между вершинами одной и той же части графа.

Определение

Граф ${\displaystyle G=(W,E)}$ называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на две части ${\displaystyle U\cup V=W}$ так, что:

• ни одна вершина в ${\displaystyle U}$ не соединена с вершинами в ${\displaystyle U}$ ;
• ни одна вершина в ${\displaystyle V}$ не соединена с вершинами в ${\displaystyle V}$ .

В этом случае, подмножества вершин ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ называются долями двудольного графа ${\displaystyle G}$ .

Связанные определения

Двудольный граф называется полным двудольным (это понятие отлично от полного графа ; то есть, такого, в котором каждая пара вершин соединена ребром), если для каждой пары вершин ${\displaystyle u\in U,v\in V}$ существует ребро ${\displaystyle (u,v)\in E}$ . Для

${\displaystyle |U|=i,|V|=j}$

такой граф обозначается символом ${\displaystyle K_{i,j}}$ .

Примеры

Примеры двудольных графов:

• любое дерево является двудольным графом;
• любой простой цикл, состоящий из чётного числа вершин;
• любой планарный граф , у которого каждая грань ограничена чётным количеством ребер.

Двудольные графы естественно возникают при моделировании отношений между двумя различными классами объектов. К примеру граф футболистов и клубов: ребро соединяет соответствующего игрока и клуб, если игрок играл в этом клубе.

Двудольные графы используют для описания LDPC кодов.

Свойства

• Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не содержит цикла нечётной длины.
  • В частности двудольный граф не может содержать клику размером более 2.
• Граф является двудольным тогда и только тогда, когда он 2-хроматический; то есть его хроматическое число равняется двум.
• Граф разбивается на пары разноцветных вершин тогда и только тогда, когда любые ${\displaystyle k}$ элементов одной из долей связаны по крайней мере с ${\displaystyle k}$ элементами другой ( Теорема о свадьбах ).
• Полный двудольный граф, у которого в каждой части больше 2 вершин, является непланарным .
• Любой двудольный граф является совершенным .

Проверка двудольности

Для того, чтобы проверить граф на предмет двудольности, достаточно в каждой компоненте связности выбрать любую вершину и помечать оставшиеся вершины во время обхода графа (например, поиском в ширину ) поочерёдно как чётные и нечётные (см. иллюстрацию). Если при этом не возникнет конфликта, все чётные вершины образуют множество ${\displaystyle U}$ , а все нечётные — ${\displaystyle V}$ .

Применения

• Сети Петри
• Граф Леви
• Теория кодирования
  • (англ.) (
  • Граф Таннера

См. также

• Словарь терминов теории графов
• Биекция
• Многодольный граф
• Квазидвудольный граф

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
• :
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .