Квазигруппа — магма , в которой всегда возможно деление . В отличие от группы , квазигруппа не обязана быть ассоциативной и не обязана иметь нейтральный элемент . Любая ассоциативная квазигруппа с определенным на ней нейтральным элементом является группой.

Определения и свойства

Квазигруппой называют пару ( Q , *) из непустого множества Q с бинарной операцией * : Q × Q → Q , удовлетворяющей следующему условию: для любых элементов a и b из Q найдутся единственные элементы x и y из Q , такие что

• a * x = b
• y * a = b

Решения этих уравнений иногда записывают так:

• x = a \ b
• y = b / a

Операции \ и / называют левым делением и правым делением .

Квазигруппу с единицей называют также лупой (от англ. loop — петля).

Если между элементами двух квазигрупп Q и R можно установить биекцию (то есть они равномощны как множества), говорят, что Q и R имеют одинаковый порядок. Если при этом существуют перестановки A, B, C, действующие на элементах этих квазигрупп, такие что

• ( x , y ) = [ x A, y B]C

(здесь (,) и [ , ] — операции в Q и R соответственно), то такие квазигруппы называют изотопными .

Для любой квазигруппы существует лупа, которой она изотопна. Если же лупа изотопна группе, то эта лупа является группой. В более общем случае: если полугруппа изотопна лупе, то они изоморфны и обе изоморфны некоторой группе. Изотопия , в некотором ^{[ каком? ]} смысле, эквивалентна изоморфизму групп, но существуют квазигруппы изотопные, но не изоморфные группам.

Любой латинский квадрат является таблицей умножения ( таблицей Кэли ) квазигруппы.

Квазигруппа называется полностью антисимметричной , если выполняются ещё два свойства :

• если для некоторых a и b из квазигруппы оказалось, что a * b = b * a , то a = b ;
• если для некоторых a , b и c из квазигруппы оказалось, что ( a * b ) * c = ( a * c ) * b , то b = c .

В 2004 году М. Дамм представил примеры полностью антисимметричных квазигрупп, что явилось значительным математическим достижением XXI века .

Полностью антисимметричные квазигруппы (квазигруппы Дамма) используются в кодах, распознающих ошибку ( алгоритм Дамма ) .

Примеры

• Любая группа является также и квазигруппой, так как a * x = b ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ x = a ⁻¹ * b , y * a = b ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ y = b * a ⁻¹ .
• Целые числа ( ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ) с операцией вычитания (−) являются квазигруппой.
• Ненулевые рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (или вещественные — ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ) с операцией деления (÷) являются квазигруппой.
• Множество {±1, ±i, ±j, ±k}, где ii = jj = kk = +1 и все остальные произведения определяются так же, как в кватернионах , является квазигруппой с единицей (лупой).
• Любое векторное пространство над полем вещественных чисел относительно операции x * y = ( x + y ) / 2 образует структуру идемпотентной коммутативной квазигруппы.

Примечания

Литература

• Белоусов В. Д. от 30 июля 2016 на Wayback Machine — М. : Наука, 1967. — 224с.
• Sabinin L.V. (недоступная ссылка) — Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. — 257p
• Сабинин Л. В. Аналитические квазигруппы и геометрия — М.: УДН, 1991. — 112с.
• Сабинин Л. В., Михеев П. О. Теория гладких луп Бола. — М.: Издательство УДН, 1985. — 81с.
• «Квазигруппы и лупы» (вып. 51). Валуцэ И. И. (ред.) и др. Сборник научных работ. Кишинёв: Штиинца, 1979. — 168с.
• Белоусов В. Д. Аналитические сети и квазигруппы — Кишинёв: Штиинца, 1971. — 168с.
• Михеев П. О., Сабинин Л. В. от 14 июня 2013 на Wayback Machine . Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., Том 20. — М.: ВИНИТИ, 1988. 75-110.]
• Курош А. Г. Общая алгебра . Лекции 1969—1970 учебного года — М.: Наука, 1974 . — 160с. Параграфы 5 и 6.
• Галкин В. М. Квазигруппы в сборнике статей Алгебра, топология, геометрия. Том 26, 1988 г.Итоги науки и техн. Сер. Алгебра, топол., геом. Том 26. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 3-44.