Магма ( группоид ) в общей алгебре — алгебра , состоящая из множества М с одной бинарной операцией M × M → M . Помимо требования замкнутости множества относительно заданной на нём операции , других требований к операции и множеству не предъявляется.

Термин « магма » был предложен Бурбаки . Термин « группоид » старше, он предложен Ойстином Оре , однако этот термин также относится к другой общеалгебраической структуре — теоретико-категорному группоиду , и в более современной литературе чаще используется в этом смысле.

Обобщённо магмы обычно не изучаются; вместо этого изучаются различные типы, отличающиеся дополнительно вводимыми аксиомами. Обычно изучаемые типы магм включают следующие:

• квазигруппа — непустая магма, в которой всегда возможно деление ;
• лупа — квазигруппа с нейтральным элементом ;
• полугруппа — магма с ассоциативной операцией ;
• моноид — полугруппа с нейтральным элементом ;
• группа — моноид с обратным элементом или, то же что, ассоциативная петля (всегда являющаяся квазигруппой);
• абелева группа — группа с коммутативной операцией .

Морфизм магм — это функция ${\displaystyle f\colon M\to N}$ , соотносящая магме ${\displaystyle M}$ магму ${\displaystyle N}$ , которая сохраняет бинарную операцию:

${\displaystyle f(x\;*_{M}\;y)=f(x)\;*_{N}\;f(y)}$

где ${\displaystyle *_{M}}$ и ${\displaystyle *_{N}}$ обозначают бинарные операции на ${\displaystyle M}$ и на ${\displaystyle N}$ соответственно.

Комбинаторика и скобки

Для общего, неассоциативного случая, операция магмы может быть многократно повторена. Для обозначения порядка используются скобки. Результирующая строка состоит из символов, обозначающих элементы магмы, и сбалансированных скобок. Множество всех возможных строк сбалансированных скобок называется языком Дика . Общее число различных способов записи n применений оператора магмы определяется числом Каталана ${\displaystyle C_{n}}$ . Так например, ${\displaystyle C_{2}=2}$ , что эквивалентно утверждению, что ${\displaystyle (ab)c}$ и ${\displaystyle a(bc)}$ — единственно возможные способы определения порядка двукратного применения бинарной операции магмы.

Для упрощения записи и сокращения числа используемых скобок используется условное обозначение. Для того, чтобы обозначить более высокий приоритет у выполнения операции, используют запись рядом. Например, если операция магмы «·», то xy · z — сокращённая запись ( x · y ) · z . Дальнейшие сокращения возможны за счёт использования пробелов. Например, записывая xy · z · wv вместо (( x · y ) · z ) · ( w · v ) . Разумеется, для более сложных выражений отказ от использования скобок затруднителен. Способом избежать использования скобок является префиксная запись , которая, однако, неинтуитивна.

Литература

• Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — М. : Высшая школа, 1979. — 559 с.