Система компьютерной алгебры ( СКА , англ. computer algebra system, CAS ) — это прикладная программа для символьных вычислений , то есть выполнения преобразований и работы с математическими выражениями в аналитической (символьной) форме.

Символьные вычисления

Системы компьютерной алгебры различаются по возможностям, но обычно поддерживают следующие символьные действия:

• упрощение выражений до меньшего размера или приведение к стандартному виду , включая автоматическое упрощение с использованием предположений и ограничений
• подстановка символьных и численных значений в выражения
• изменение вида выражений: раскрытие произведений и степеней, частичная и полная факторизация (разложение на множители)
• разложение на простые дроби, удовлетворение ограничений , запись тригонометрических функций через экспоненты, преобразование логических выражений
• дифференцирование в частных и полных производных
• нахождение неопределённых и определённых интегралов ( символьное интегрирование )
• символьное решение задач оптимизации : нахождение глобальных экстремумов, условных экстремумов и т. д.
• решение линейных и нелинейных уравнений
• алгебраическое (нечисленное) решение дифференциальных и конечно-разностных уравнений
• нахождение пределов функций и последовательностей
• интегральные преобразования
• оперирование с рядами : суммирование, умножение, суперпозиция
• матричные операции: обращение, факторизация, решение спектральных задач
• статистические вычисления
• автоматическое доказательство теорем , формальная верификация

Дополнительные возможности

Многие из СКА также включают:

• язык программирования , позволяющий пользователям составлять собственные алгоритмы
• числовые операции произвольной точности
• целочисленную арифметику для больших чисел и поддержку функции теории чисел
• редактирование математических выражений в двумерной форме (с индексами, обычными дробями и т. д.)
• построение графиков функций в двух или трёх измерениях и их анимаций
• рисование графиков и диаграмм
• API для использования внешними программами ( базы данных ) или в языках программирования для использования системы компьютерной алгебры
• операции со строками ( поиск подстроки )
• дополнительные модули прикладной математики для таких областей, как физика , биоинформатика , вычислительная химия и пакеты для инженерно-физических вычислений

Некоторые также включают:

• создание и редактирование графики ( создание компьютерных изображений , а также обработку сигналов и анализ изображений )
• синтез звука

Некоторые СКА направлены на специфическую область использования; обычно такие программы разрабатываются академическим сообществом и распространяются бесплатно. Они могут быть не столь эффективны в численных расчетах, как системы для численных методов .

История

СКА появились в начале 1960-х и поэтапно развивались, в основном, в двух направлениях: теоретическая физика и создание искусственного интеллекта . Одной из ранних программ является, используемая и поныне FORM , из голландского института субатомной физики.

Первым успешным примером была новаторская работа Мартинуса Велтмана (позднее удостоенная Нобелевской премии по физике ), который в 1963 создал программу для символьных вычислений (для нужд физики высоких энергий), которая была названа Schoonschip.

Используя LISP , Карл Энгельман в 1964 создал MATHLAB в рамках проекта (по исследованию искусственного интеллекта ). Позже MATHLAB стал доступным в университетах для пользователей мейнфреймов PDP-6 и PDP-10 с такими ОС как TOPS-10 или TENEX . Сейчас он может быть всё ещё запущен на SIMH эмуляциях PDP-10. MATHLAB (« math ematical lab oratory») не стоит путать с MATLAB (« mat rix lab oratory»), системой для численных расчётов, созданной 15 лет спустя в Университете Нью-Мексико.

Начиная с конца 1960-х первое поколение СКА включало в себя системы :

• MACSYMA (Джоэл Мозес),
• MATHLAB ( Массачусетский технологический институт ),
• SCRATCHPAD (Ричард Дженкс, IBM ),
• REDUCE (Тони Хирн),
• SAC-I, позже SACLIB (Джорж Коллинз),
• MUMATH для микропроцессоров (Дэвид Стоутмайер) и его продолжатель
• DERIVE.

Эти системы были способны выполнять символьные вычисления: интегрирование, дифференцирование, факторизация.

Ко второму поколению, в котором стал применяться более современный графический интерфейс пользователя , относятся Maple (Кейт Геддес и Гастон Гоннет, университет Уотерлу , 1985 год) и Mathematica ( Стивен Вольфрам ), которые широко используются математиками, учёными и инженерами . Бесплатные альтернативы — Sage , Maxima , Reduce .

В 1987 Hewlett-Packard представила первый карманный аналитический калькулятор ( ), и в нём впервые для калькуляторов были реализованы организация алгебраических выражений, дифференциирование, ограниченное аналитическое интегрирование, разложение в ряд Тейлора и поиск решений алгебраических уравнений.

Компания Texas Instruments в 1995 году выпустила калькулятор с революционными на тот момент расширениями CAS на основе программного обеспечения Derive. Этот калькулятор и последовавшие за ним, в том числе TI-89 и серии TI-Nspire CAS, выпущенный в 2007 году, продемонстрировали возможность создания сравнительно компактных и недорогих систем компьютерной алгебры.

В третьем поколении стал применяться категориальный подход и операторные вычисления :

• AXIOM , последователь SCRATCHPAD (NAG),
• MAGMA (Джон Кэннон, Сиднейский университет ),
• MUPAD (Бенно Фуксштейнер, университет города Падерборн).

На 2012 год исследования в области систем компьютерной алгебры продолжаются в трёх направлениях: возможности по решению всё более широких задач, простота использования и скорость работы .

Разделы математики, используемые в системах компьютерной алгебры

• Символьное интегрирование — алгоритм Риша
• —
• Предел (математика) — алгоритм Грюнтза (Gruntz)
• Факторизация полиномов. Для ограниченных областей используются алгоритм Берлекампа или .
• Наибольший общий делитель — алгоритм Евклида
• Метод Гаусса
• Базис Грёбнера —
• Аппроксимация Паде
• и проверка равенства полиномов
• Китайская теорема об остатках
• Диофантово уравнение
• Элиминация кванторов над действительными числами — метод Тарского
• Производные от элементарных и специальных функций (например, смотри )

См. также

• АНАЛИТИК

Примечания

Литература

• Richard J. Fateman. (англ.) . — 1972. — 191 p. — (Technical report MIT-LCS-TR-095). от 17 сентября 2006 на Wayback Machine
• Таранчук В. Б. (рус.) . — Минск: БГУ, 2013. — 59 p.
• Бухбергер Б. и другие. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления. — М. : Мир, 1986. — 392 с.
• Joachim von zur Gathen; Jürgen Gerhard. . — Cambridge University Press, 2013. — 808 p. — ISBN 978-1-107-03903-2 .

Ссылки

• — From the Education Resources Information Center Clearinghouse for Science, Mathematics, and Environmental Education, Columbus, Ohio.
• — система обучения и тестирования на основе компьютерной алгебры