Чётность в теории чисел — характеристика целого числа , определяющая его способность делиться нацело на два .

Определения

• Чётное число — целое число , которое делится на 2 без остатка: …, −4, −2, 0 , 2, 4, 6, 8, …

• Нечётное число — целое число, которое не делится на 2 без остатка : …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …

Если m чётно, то оно представимо в виде ${\displaystyle m=2k}$ , а если нечётно, то в виде ${\displaystyle m=2k+1}$ , где ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ .

С точки зрения теории сравнений , чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

Арифметика

Сложение и вычитание : Ч ётное ± Ч ётное = Ч ётное Ч ётное ± Н ечётное = Н ечётное Н ечётное ± Н ечётное = Ч ётное

Умножение : Ч ётное × Ч ётное = Ч ётное Ч ётное × Н ечётное = Ч ётное Н ечётное × Н ечётное = Н ечётное

• Деление:
  • Ч ётное / Ч ётное: однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат — целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным) ^{[ источник не указан 36 дней ]}
  • Ч ётное / Н ечётное: если результат — целое число, то оно Ч ётное
  • Н ечётное / Ч ётное: результат не может быть целым числом, и соответственно обладать атрибутами чётности не может
  • Н ечётное / Н ечётное: если результат — целое число, то оно Н ечётное

Признак чётности

В десятичной системе счисления

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётной (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число также является чётным, в противном случае — нечётным.

4 2 , 10 4 , 1111 0 , 911581734 2 — чётные числа.

3 1 , 7 5 , 70 3 , 7852 7 , 235689512 5 — нечётные числа.

В других системах счисления

Для всех систем счисления с чётным основанием (например, для шестнадцатеричной ), действует тот же признак чётности : число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2. Для систем счисления с нечётным основанием существует другой признак чётности: число чётно тогда и только тогда, когда чётна сумма его цифр . Например, число, обозначаемое записью «136», чётно в любой системе счисления, начиная с семеричной .

История и культура

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В китайской космологии и натурософии чётные числа соответствуют понятию « инь », а нечётные — « ян » .

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции. Например в США , Европе и некоторых восточных странах считается, что чётное количество даримых цветов приносит счастье . В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше 11 ), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли. Например, вполне допустимо подарить даме букет из 12, 14, 16 и т. д. цветов или срезов кустового цветка, имеющих множество бутонов , у которых они, в принципе, не подсчитываются. Тем более это относится к бо́льшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

Практика

• Согласно Правилам дорожного движения в зависимости от чётности или нечётности числа месяца может быть разрешена стоянка под знаками 3.29, 3.30
• В высших учебных заведениях со сложными графиками учебного процесса применяются чётные и нечётные недели (могут называться также первыми и вторыми, верхними и нижними). Внутри этих недель отличается расписание учебных занятий и в некоторых случаях время их начала и окончания. Такая практика применяется для равномерности распределения нагрузки на студентов, преподавателей, по аудиториям, учебным корпусам. Дисциплины небольшого объёма ставятся в расписание 1 раз в 2 недели, в результате чего преподавателей и студентов не возникает чрезмерной нагрузки в начале семестра и резкого падения ее - в конце: количество учебных часов в неделю остается примерно одинаковым на протяжении всего семестра .
• Четность/нечётность чисел широко применяется на железнодорожном транспорте :
  • При движении поезда ему присваивается маршрутный номер, который может быть чётным или нечётным в зависимости от направления движения (прямое или обратное). Например, поезд «Россия» при следовании из Владивостока в Москву имеет номер 001, а из Москвы во Владивосток — 002;
  • Чётностью/нечётностью на сленге железнодорожников обозначается направление, в котором проходит поезд через станцию (пример объявления «По третьему пути пройдёт нечётный поезд»);
  • Места в плацкартных и купейных вагонах всегда распределяются: чётные — верхние, нечётные — нижние.
  • С чётными и нечётными числами месяца долгое время были увязаны графики движения пассажирских поездов, следующих через один день. При совпадении двух подряд нечётных чисел (с 29 или 31 на 1 число) поезда могли назначаться не через день, а через два дня (если он отправляется по чётным) или на следующий день. Но такая практика была неудобна для железнодорожников, и с распространением интернета и продаж билетов онлайн от поддержания таких графиков постепенно отказались: пассажиры знают, что поезда отправляются через день, а конкретную дату всегда можно уточнить в интернете. После каждого месяца с нечётным количеством дней графики движения смещаются с чётных чисел на нечётные и наоборот .

См. также

• Чётность нуля

Примечания

Литература

• Медников Л. Э. Чётность (рус.) . — 4-е изд. — М. : МЦНМО , 2013. — ISBN 978-5-4439-0078-0 .
• Перельман Я. И. Чёт или нечет? // Занимательная арифметика: загадки и диковинки в мире чисел. — Издание восьмое, сокращённое. — М. : Детгиз , 1954. — С. 66—68.

Ссылки

• Последовательность в OEIS : нечётные числа
• Последовательность в OEIS : чётные числа
• Последовательность в OEIS : чётные числа с чётной суммой цифр в десятичной записи