Перебор делителей ( пробное деление ) — алгоритм факторизации или тестирования простоты числа путём полного перебора всех возможных потенциальных делителей .

Описание алгоритма

Обычно перебор делителей заключается в переборе всех целых (как вариант: простых ) чисел от 2 до квадратного корня из факторизуемого числа n и в вычислении остатка от деления n на каждое из этих чисел. Если остаток от деления на некоторое число i равен 0, то i является делителем n . В этом случае либо n объявляется составным, и алгоритм заканчивает работу (если тестируется простота n ), либо n сокращается на i и процедура повторяется (если осуществляется факторизация n ). По достижении квадратного корня из n и невозможности сократить n ни на одно из меньших чисел n объявляется простым .

Для ускорения перебора часто не проверяются чётные делители, кроме числа 2, а также делители, кратные трём, кроме числа 3. При этом тест ускоряется в три раза, так как из каждых шести последовательных потенциальных делителей необходимо проверить только два, а именно вида 6· k ±1, где k — натуральное число .

Данный алгоритм является ресурсоемким при проверке больших чисел на простоту, но для его ускорения можно прибегнуть к следующим методам оптимизации. Для объяснения возьмем три последовательных числа (n-1, n, n+1). Предположим, что число n — простое. Так как n — простое, то слева и справа от него будут стоять числа, кратные двум, а исходя из того, что мы рассматриваем тройку подряд идущих чисел, среди них обязательно найдётся число, кратное трем. Тогда число n-1 и n+1 кратны двум, и одно из них кратно трем; следовательно, одно из этих чисел будет кратно шести. Теперь мы можем сказать, что простое число, большее трех, всегда будет стоять рядом с числом, кратным шести. Оптимизируя наш алгоритм, мы можем изначально проверить окрестность большого числа N, а именно N-1 и N+1, на кратность 6, и после этого запустить алгоритм проверки на простоту. Данный метод можно использовать и на задачах, связанных с отрезком чисел, и перебирать только те, которые стоят рядом с числом, кратным шести.

Скорость

Худший случай, если перебор придется проводить от 2 до корня из n . Сложность данного алгоритма

${\displaystyle O(n^{1/2})}$

Пример

Для иллюстрации проведем перебор делителей числа n = 29. i — возможные делители n .

${\displaystyle [n^{1/2}]=5}$

Так как ни один из остатков деления 29 не равен 0, то 29 объявляется простым.

Пусть теперь n = 7399, тогда

${\displaystyle [n^{1/2}]=86}$

Так как остаток деления 7399 на 7 равен 0, то 7399 не является простым.

Практическое применение

В практических задачах данный алгоритм применяется редко ввиду его большой вычислительной сложности , однако его применение оправдано в случае, если проверяемые числа относительно невелики, так как данный алгоритм довольно легко реализуем .

См. также

• Решето Эратосфена
• Решето Сундарама
• Решето Аткина
• Тест простоты

Примечания

Литература

• Lindsay N. Childs. A Concrete Introduction to Higher Algebra. — 3rd ed. — New York, 2009. — 603 p.
• Richard Crandall, Carl Pomerance. . — 2nd ed. — New York, 2005. — 597 p.

Ссылки

• от 10 января 2015 на Wayback Machine . Способен обрабатывать числа до 9×10 ¹⁵
• (неопр.) . wikia. Дата обращения: 29 марта 2022. 28 декабря 2018 года.

Для улучшения этой статьи желательно : Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники , подтверждающие написанное . После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.