Interested Article - Решето Сундарама

Решето Сундара́ма — детерминированный алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа $n$ . Разработан индийским студентом Сундарамом в 1934 году.

Пошаговая демонстрация работы алгоритма для $N=100$

Алгоритм предусматривает исключение из ряда натуральных чисел от 1 до $N$ всех чисел вида:

i+j+2ij

,

где индексы $i\leqslant j$ пробегают все натуральные значения, для которых $i+j+2ij\leqslant N$ , а именно значения $i=1,\;2,\;\ldots ,\;\left\lfloor {\frac {{\sqrt {2N+1}}-1}{2}}\right\rfloor$ и $j=i,\;i+1,\;\ldots ,\;\left\lfloor {\frac {N-i}{2i+1}}\right\rfloor .$ Затем каждое из оставшихся чисел умножается на 2 и увеличивается на 1. Полученная в результате последовательность представляет собой все простые числа в отрезке $[1,2N+1]$ .

Обоснование

Алгоритм работает с нечётными натуральными числами большими единицы, представленными в виде $2m+1$ , где $m$ является натуральным числом.

Если число $2m+1$ является составным , то по определению оно может быть представлено в виде произведения двух нечётных чисел, больших единицы, то есть:

2m+1=(2i+1)(2j+1)

, где

i

и

j

— натуральные числа. Раскрывая скобки, получаем, что

2m+1=4ij+2i+2j+1

, или

2m=4ij+2i+2j

, из чего следует, что

m=2ij+i+j

.

Таким образом, если из ряда натуральных чисел исключить все числа вида $2ij+i+j$ ( $1\leqslant i\leqslant j$ ), то для каждого из оставшихся чисел $m$ число $2m+1$ обязано быть простым. И, наоборот, если число $2m+1$ является простым, то число $m$ невозможно представить в виде $2ij+i+j$ и, таким образом, $m$ не будет исключено в процессе работы алгоритма.