Нётерово кольцо́ — тип колец , обобщение кольца главных идеалов . Названы в честь Эмми Нётер .

Определение

Нётерово кольцо — ассоциативное кольцо с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей :

всякая последовательность идеалов (для некоммутативных колец — левых идеалов) ${\displaystyle p_{1}\subset p_{2}\subset \dots \subset p_{n}\subset \dots }$ стабилизируется, то есть ${\displaystyle p_{n}=p_{n+1}=\dots ,}$ начиная с некоторого ${\displaystyle n}$ .

Замечания

• Если в определении заменить возрастающие цепи на убывающие, то получается определение артинова кольца .

Примеры

• Поле , поскольку в нём всего два идеала — ${\displaystyle \{0\}}$ и само поле.
• Кольцо главных идеалов .
  • Например, кольцо многочленов от одной переменной над полем. (Однако не всякое нётерово кольцо является кольцом главных идеалов.)
• Кольца многочленов от конечного числа переменных над полем являются нётеровыми (но не являются кольцами главных идеалов при числе переменных, большем 1).

Свойства

• Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда в любом непустом множестве идеалов ${\displaystyle A}$ существует максимальный элемент.
• Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда любой идеал конечно порождён.
• Теорема Гильберта о базисе : для любого нётерова кольца ${\displaystyle A}$ кольцо многочленов ${\displaystyle A[x]}$ — нётерово.
  • В частности, ${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ тоже нётерово.
• В коммутативных нётеровых кольцах верна теорема Ласкера — Нётер , согласно которой любой идеал ${\displaystyle A}$ допускает примарное разложение .

См. также

• Нётеров модуль
• Топология Зарисского

Литература

• Атья М. , Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, — М. : Мир, 1972.
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра, — М. : ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра, — М. : Мир, 1968.