Interested Article - Артиново кольцо

А́ртиново кольцо́ (по имени Э. Артина ) — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей : всякая последовательность идеалов стабилизируется, то есть начиная с некоторого

Легко доказать, что это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве идеалов A существует минимальный элемент. В случае некоммутативного кольца A различают левые артиновы и правые артиновы кольца: первые удовлетворяют условию убывающих цепей для левых идеалов, а вторые — для правых. В общем случае левое артиново кольцо не обязательно является правым артиновым.

Согласно теореме Артина — Веддербёрна , все простые артиновы кольца являются кольцами матриц над телом . В частности, простое кольцо является левым артиновым тогда и только тогда, когда оно является правым артиновым.

Если в определении заменить убывающие цепи на возрастающие, то получим определение нётерова кольца . Несмотря на то, что условие обрыва убывающих цепей двойственно к условию обрыва возрастающих, на самом деле первое условие является более сильным. Согласно любое левое (соотв. правое) артиново кольцо является левым (соотв. правым) нётеровым.

Примеры

Коммутативные артиновы кольца

Пусть A — коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие условия эквивалентны:

Примечания

  1. Theorem 459 на от 14 декабря 2010 на Wayback Machine
  2. , 5.2 Exercise 11
  3. Атья-Макдональд, Глава 8, упражнение 2.

Литература

  • Атья М. , Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М. :Мир, 1972
  • Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М. :ИЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра. — М. :Мир, 1968
  • Cohn, Paul Moritz. Basic algebra: groups, rings, and fields (англ.) . — Springer, 2003. — ISBN 978-1-85233-587-8 .
Источник —

Same as Артиново кольцо