Бикватернионы — комплексификация (расширение) обычных (вещественных) кватернионов .

Определение

Бикватернионы можно описать как множества чисел вида « ${\displaystyle w+xi+yj+zk}$ »,   где w, x, y, z — те или иные «специальные комплексные числа ». Альтернативный способ введения — Процедура Кэли — Диксона : это гиперкомплексные числа вида « ${\displaystyle a+Ib}$ »,  где a, b — любые кватернионы , а I — « мнимая единица расширения». Известны три разных вида бикватернионов в зависимости от того, какого типа «комплексные» числа положены в основу этого представления (иначе говоря, каковы свойства расширяемой операции умножения для числа « I »):

• эллиптические (ординарные) (если ${\displaystyle I^{2}=-1}$ );
• параболические (дуальные) (если ${\displaystyle I^{2}=0}$ );
• гиперболические (двойные) (если
  $${\displaystyle I^{2}=+=1.}$$

  
  )

История и применения

Об ординарных бикватернионах написал Гамильтон в 1844 г. (см. Труды Ирландской Королевской Академии 1844 и 1850 стр.388). В число наиболее видных сторонников этих бикватернионов следует включить , , и Корнелиуса Ланцоша . Единичная квазисфера бикватернионов обеспечивает представление группы Лоренца , на которой основана специальная теория относительности .

Двойные кватернионы изучал Уильям Клиффорд . Дуальные кватернионы инструментально обеспечивают нестандартный анализ обычных кватернионов. Далее, если не оговорено, речь идёт об ординарных бикватернионах.

Свойства

«Алгебра бикватернионов» есть тензорное произведение алгебр ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$ (взятое над вещественными числами ), где ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — та или иная алгебра комплексных чисел, а ${\displaystyle \mathbb {H} }$ — алгебра обычных (вещественных) кватернионов . Как ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -алгебра бикватернионы изоморфны алгебре комплексных матриц 2x2 M ₂ ( ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ).

Матричное представление

Есть три комплексные матрицы с мнимой единицей ${\displaystyle h}$ , для которых: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}.}$ Притом квадрат каждой из этих матриц есть «минус единичная матрица », а если произведению этих матриц сопоставить произведение чисел ${\displaystyle ij=k;ji=-k}$ . Получаем, что порождаемая этим матрицами подгруппа матричной группы изоморфна группе кватернионов . Следовательно, если сопоставить матрице ${\displaystyle {\begin{pmatrix}u+iv&w+ix\\-w+ix&u-iv\end{pmatrix}}}$ бикватернион ${\displaystyle q=u+iv+jw+kx}$ , то для данной 2×2 комплексной матрицы всегда существуют комплексные величины ${\displaystyle u,v,w,x}$ в этой форме. Иначе говоря, кольцо комплексных матриц изоморфно кольцу (ординарных) бикватернионов.

Скалярно-векторное представление

Произвольный бикватернион ${\displaystyle A}$ есть сумма (связка) комплекснозначных числа («скаляра») ${\displaystyle \alpha =Sc(A)}$ и трёхмерного вектора ${\displaystyle \mathbf {a} =Vc(A)}$ :

${\displaystyle A=\alpha +\mathbf {a} =(\alpha ,\mathbf {a} )}$

Возможны два типа скалярно-векторного представления в зависимости от вида произведения двух бикватернионов. Оба представления эквивалентны. В случае стандартного представления произведение ${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$ и ${\displaystyle B=(\beta ,\mathbf {b} )}$ имеет вид :

${\displaystyle AB=(\alpha \beta -(\mathbf {a} \mathbf {b} ),\alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +[\mathbf {a} \mathbf {b} ])}$ ,

где ${\displaystyle (\mathbf {a} \mathbf {b} )}$ и ${\displaystyle [\mathbf {a} \mathbf {b} ]}$ — скалярное и векторное произведения соответственно.

В случае комплексного представления :

${\displaystyle AB=(\alpha \beta +(\mathbf {a} \mathbf {b} ),\alpha \mathbf {b} +\beta \mathbf {a} +i[\mathbf {a} \mathbf {b} ])}$

Так определённое произведение для двух вещественных бикватернионов даёт в общем случае комплекснозначный бикватернион.

Бикватернион, сопряженный данному ${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$ , есть:

${\displaystyle {\overline {A}}=(\alpha ,-\mathbf {a} )}$

Квадрат модуля бикватерниона ${\displaystyle A=(\alpha ,\mathbf {a} )}$ есть комплексное число:

${\displaystyle |A|^{2}=A{\overline {A}}={\overline {A}}A=\alpha ^{2}-\mathbf {a} ^{2}}$

Последний обладает свойством мультипликативности:

${\displaystyle |AB|^{2}=|A|^{2}|B|^{2}}$

Операции сопряжения и комплексного сопряжения, примененные к произведению бикватернионов, меняют порядок сомножителей:

${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {B}}{\overline {A}}}$

${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}$

Все бикватернионы подразделяются на нулькватернионы — с нулевым квадратом модуля, и остальные — ненулевые бикватернионы. Каждый из этих классов замкнут относительно операции умножения.

Подалгебры

При рассмотрении (ординарных) бикватернионов как алгебры над полем вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ набор ${\displaystyle \{1,I,i,Ii,j,Ij,k,Ik\}}$ образует базис , эта алгебра имеет вещественную размерность пространства восемь. Притом квадраты всех элементов ${\displaystyle Ii,Ij,Ik}$ равны ${\displaystyle +1}$ . Значит, вещественная подалгебра , образуемая ${\displaystyle \lbrace x+y(Ii):x,y\in R\rbrace }$ , изоморфна кольцу , которое образуют двойные числа (с алгебраической структурой, аналогичной строящейся над ). Элементы ${\displaystyle Ij,Ik}$ определяют такие же подалгебры.

Элементы ${\displaystyle \lbrace x+yj:x,y\in C\rbrace }$ образуют подалгебру, изоморфную .

Третий вид подалгебры, т. н. « », порождается ${\displaystyle Ij,Ik}$ , так как вещественное линейное подпространство с базисом ${\displaystyle \{1,i,Ij,Ik\}}$ замкнуто по умножению (ведь ${\displaystyle Ij\cdot Ik=-i}$ . Указанный базис образует диэдральную группу квадрата, а кокватернионы изоморфны алгебре вещественных матриц 2х2.

Квантовая механика и спинорная алгебра трактуют бикватернионы ${\displaystyle Ii,Ij,Ik}$ (или их отрицание), рассматривая их в преставлении ${\displaystyle M(2,C)}$ как матрицы Паули .

Примечания

Ссылки

• (ординарные) — популярное изложение
• Vladislav V Kravchenko Applied Quaternionic Analysis . Heldermann 2003, — 134p. ISBN 3-88538-228-8 ( )
• — основные понятия и свойства бикватернионов, с примером их применения на языке программирования JavaScript.